§ 8. ДОСЛІДЖУЄМО КОЛИВАЛЬНИЙ РУХ

• Назад до змісту довідника

ДОСЛІДЖУЙ

Спробуй самостійно дібрати відповідні характеристики кожного виду механічного руху. Накресли цю таблицю в зошиті й запиши в кожній комірці номер твердження, яке відповідає тому чи іншому руху. Наведи приклади кожного виду руху.

Приклади кожного виду руху:

• Прямолінійний рівномірний рух: рух автомобіля на прямій ділянці траси зі сталою швидкістю, переміщення кабіни ліфта між поверхами.
• Рівнозмінний прямолінійний рух: вільне падіння яблука з гілки, розгін потяга метро під час відправлення від станції на прямій ділянці колії.
• Коливальний рух: коливання дитячої гойдалки, рух тягарця на пружині, вібрація струни гітари.
• Рівномірний рух по колу: рух кабінки оглядового колеса, рух кінця хвилинної стрілки годинника.

ДОСЛІДЖУЄМО КОЛИВАЛЬНИЙ РУХ МАЯТНИКІВ

Спробуй самостійно описати рух кульки.

У положенні рівноваги кулька нерухома, адже сила тяжіння та сила натягу нитки повністю компенсують одна одну. Після відхилення на певний кут рівнодійна сили тяжіння та сили натягу нитки напрямлена до положення рівноваги і змушує кульку рухатися вперед із прискоренням. Швидкість кульки зростає і стає найбільшою в положенні рівноваги. Проходячи найнижчу точку за інерцією, кулька піднімається в протилежний бік, рівнодійна сил змінює напрямок і гальмує її аж до повної зупинки в крайній точці, після чого рух повторюється у зворотному напрямку.

ДУМАЙ

1. Дай визначення коливального руху. Наведи приклади коливань, що зустрічаються в житті.

Коливальний рух — це рух, що повторюється через рівні проміжки часу. Прикладами коливань у повсякденному житті є рух маятника настінного годинника, коливання гілок дерев від вітру, серцебиття та вібрація голосових зв’язок людини під час розмови.

2. Назви основні характеристики коливального руху і поясни, що означає кожна з них.

Основними характеристиками коливального руху є амплітуда, період та частота:

• Амплітуда коливань ($A$) — це максимальне відхилення тіла від положення рівноваги, вимірюється в метрах ($\text{м}$).
• Період коливань ($T$) — це час одного повного коливання, тобто час повернення в початковий стан; одиниця вимірювання — секунда ($\text{с}$). Обчислюється за формулою:
  $T = \dfrac{t}{N}$
• Частота коливань ($\nu$) — це кількість повних коливань за одиницю часу, вимірюється в герцах ($\text{Гц}$) або $\text{с}^{-1}$. Обчислюється за формулою:
  $\nu = \dfrac{N}{t}$

3. Чому коливне тіло не зупиняється у точці рівноваги під час коливань?

Тіло не зупиняється в точці рівноваги завдяки явищу інерції. Під час наближення до цієї точки тіло розганяється і набуває максимальної швидкості, тому не може зупинитися миттєво і продовжує рух далі.

4. Чим відрізняються вільні коливання від вимушених? Як пов’язані між собою період коливань і частота коливань?

Вільні коливання відбуваються під дією внутрішніх сил системи після одноразового виведення її зі стану спокою (наприклад, відхилений маятник). Вимушені коливання здійснюються під безперервною дією періодичної зовнішньої сили, яка постійно додає системі енергію. Період і частота є взаємно оберненими величинами і зв’язані формулою:
$\nu = \dfrac{1}{T}$

5. Поясни, що таке резонанс. Наведи приклад цього явища.

Резонанс — це явище різкого збільшення амплітуди вимушених коливань, яке виникає тоді, коли частота зовнішньої періодичної сили збігається з власною коливальною частотою системи. Прикладом є розгойдування гойдалки поштовхами рук у такт її руху, завдяки чому навіть слабкі зусилля високо підіймають гойдалку.

6. Чому вільні коливання в реальних умовах є затухаючими?

У реальних умовах на систему діють сили тертя та опір навколишнього повітря. Механічна енергія поступово розсіюється і перетворюється на внутрішню теплову енергію, через що амплітуда коливань зменшується до нуля.

7. Які сили діють під час коливань на: пружинний маятник? математичний маятник?

На тіло пружинного горизонтального маятника діють сила тяжіння, сила реакції опори, повертальна сила пружності деформованої пружини та сила тертя й опору середовища. На математичний маятник діють вертикальна сила тяжіння, сила натягу нитки та сила опору повітря.

8. Як зміниться період коливань математичного маятника, якщо збільшити довжину нитки?

Період коливань математичного маятника збільшиться. Згідно з формулою $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$, період прямо пропорційний квадратному кореню з довжини нитки l, тому довша нитка збільшує час повного коливання.

РОЗВ’ЯЖИ ЗАДАЧІ

1. Математичний маятник здійснює коливання з періодом 2 с. Визнач довжину нитки.

Дано:

• $T = 2\text{ с}$
• $g = 9{,}8\text{ м/с}^2$
• $\pi \approx 3{,}14$

Знайти:

• $l - ?$

Розв’язання:
$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$
$T^2 = 4\pi^2 \cdot \dfrac{l}{g} \implies l = \dfrac{T^2 \cdot g}{4\pi^2}$
$l = \dfrac{(2\text{ с})^2 \cdot 9{,}8\text{ м/с}^2}{4 \cdot (3{,}14)^2} = \dfrac{4 \cdot 9{,}8}{4 \cdot 9{,}86} \approx 0{,}994\text{ м} \approx 1\text{ м}$

Відповідь: $l = 1\text{ м}$.

2. У скільки разів зміниться період коливань математичного маятника, якщо його довжину збільшити в 4 рази?

Дано:

• $l_2 = 4l_1$

Знайти:

• $\dfrac{T_2}{T_1} - ?$

Розв’язання:
$T_1 = 2\pi\sqrt{\dfrac{l_1}{g}}$
$T_2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{l_2}{g}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{4l_1}{g}} = 2 \cdot 2\pi\sqrt{\dfrac{l_1}{g}} = 2T_1$
$\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{2T_1}{T_1} = 2$

Відповідь: період коливань збільшиться вдвічі.

3. Тіло масою 0,5 кг підвішено до пружини жорсткістю k = 200 Н/м. Знайди період коливань.

Дано:

• $m = 0{,}5\text{ кг}$
• $k = 200\text{ Н/м}$
• $\pi \approx 3{,}14$

Знайти:

• $T - ?$

Розв’язання:
$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$
$T = 2 \cdot 3{,}14 \cdot \sqrt{\dfrac{0{,}5\text{ кг}}{200\text{ Н/м}}} = 6{,}28 \cdot \sqrt{0{,}0025} = 6{,}28 \cdot 0{,}05 = 0{,}314\text{ с} \approx 0{,}31\text{ с}$

Відповідь: $T \approx 0{,}31\text{ с}$.

4. Період коливань тіла на пружині становить 0,5 с. Визнач жорсткість пружини, якщо маса тіла 0,2 кг.

Дано:

• $T = 0{,}5\text{ с}$
• $m = 0{,}2\text{ кг}$
• $\pi \approx 3{,}14$

Знайти:

• $k - ?$

Розв’язання:
$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$
$T^2 = 4\pi^2 \cdot \dfrac{m}{k} \implies k = \dfrac{4\pi^2 m}{T^2}$
$k = \dfrac{4 \cdot (3{,}14)^2 \cdot 0{,}2\text{ кг}}{(0{,}5\text{ с})^2} = \dfrac{4 \cdot 9{,}8596 \cdot 0{,}2}{0{,}25} = \dfrac{7{,}8877}{0{,}25} \approx 31{,}6\text{ Н/м}$

Відповідь: $k \approx 31{,}6\text{ Н/м}$.

5. Яким стане період коливань пружинного маятника, якщо масу вантажу збільшити в 4 рази?

Дано:

• $m_2 = 4m_1$

Знайти:

• $\dfrac{T_2}{T_1} - ?$

Розв’язання:
$T_1 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m_1}{k}}$
$T_2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m_2}{k}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{4m_1}{k}} = 2 \cdot 2\pi\sqrt{\dfrac{m_1}{k}} = 2T_1$
$\dfrac{T_2}{T_1} = 2$

Відповідь: збільшиться вдвічі.

6. Виконай завдання за симуляціями 8.2, 8.3.

• Симуляція 8.2 (Пружинний маятник): збільшення маси тягарця збільшує період його коливань, а збільшення жорсткості пружини робить період меншим. Зміна амплітуди коливань на період не впливає.
• Симуляція 8.3 (Математичний маятник): період коливань нитяного маятника зростає разом зі збільшенням довжини підвісу і зовсім не залежить від маси підвішеного тіла. За малих кутів відхилення період коливань залишається сталим незалежно від амплітуди.

ВИКОНАЙ ДОСЛІДЖЕННЯ

1. Експериментально дослідіть перетворення кінетичної та потенціальної енергій під час коливань маятника та перевірте виконання закону збереження механічної енергії.

Гіпотеза: якщо знехтувати опором повітря, маятник після вільного відпускання з висоти $h_1$ повинен піднятися з протилежного боку на таку саму висоту $h_2$, оскільки повна механічна енергія замкненої системи зберігається.

Таблиця результатів досліду:

6. Порівняйте значення $h_1$ та $h_2$ у кожній спробі. Чи однакові вони? Якщо ні, то чим, на вашу думку, зумовлено відмінність?

Значення кінцевої висоти $h_2$ виявилося трохи меншим за початкову висоту $h_1$. Ця різниця зумовлена тим, що під час руху тіла діє опір повітря та тертя нитки об опору в точці підвісу, через що частина механічної енергії переходить у теплову.

7. Сформулюйте висновок, у якому підтвердіть або спростуйте вашу гіпотезу, посилаючись на отримані дані.

Отримані результати підтверджують гіпотезу про збереження механічної енергії: за один рух висоти $h_1$ і $h_2$ відрізняються лише на кілька міліметрів, що цілком узгоджується з дією сил опору в реальному експерименті.

8. Дайте відповіді на запитання.

• У якій точці траєкторії маятника його потенціальна енергія максимальна? Мінімальна?

Потенціальна енергія максимальна в крайніх точках відхилення, де висота підйому маятника є найбільшою. Мінімальною (нульовою відносно обраного рівня) вона є в положенні рівноваги в найнижчій точці.

• У якій точці траєкторії маятника його кінетична енергія максимальна? Мінімальна?

Кінетична енергія максимальна в положенні рівноваги, оскільки там швидкість кульки найбільша. Мінімальною (вона дорівнює нулю) кінетична енергія є в крайніх точках відхилення, де кулька на мить зупиняється.

• Опишіть, як відбувається перетворення потенціальної енергії на кінетичну і навпаки під час одного повного коливання маятника.

Під час руху з крайньої точки до середини висота зменшується, швидкість зростає, і потенціальна енергія переходить у кінетичну. Під час підйому від середини до іншої крайньої точки швидкість падає, і кінетична енергія знову перетворюється на потенціальну, після чого такий самий процес повторюється у зворотний бік.

• Як би змінився результат експерименту, якби його проводили у вакуумі (без повітря)?

У вакуумі відсутній опір повітря, тому коливання відбувалися б без втрат енергії на опір середовища, і кінцева висота $h_2$ строго дорівнювала б початковій висоті $h_1$.

• Як цей експеримент підтверджує (або не підтверджує) закон збереження механічної енергії?

Експеримент підтверджує закон збереження енергії: зменшення висоти відповідає роботі сил тертя та опору повітря, які перетворюють втрачену механічну енергію на внутрішню енергію тіл і повітря.

2. Дослідіть гармонічні коливання математичного маятника, експериментально визначте період коливань і порівняйте його з теоретичним значенням.

Для досліду використано маятник довжиною $l = 1\text{ м}$, кут відхилення становив близько $8^\circ$, кількість повних коливань $N = 10$.

Теоретичний розрахунок періоду:
$T_{\text{теор}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}} = 2 \cdot 3{,}14 \cdot \sqrt{\dfrac{1}{9{,}8}} \approx 2{,}0\text{ с}$

Таблиця результатів вимірювань:

Розрахунки до таблиці:
$t_{\text{сер}} = \dfrac{20{,}1 + 19{,}9 + 20{,}0}{3} = 20{,}0\text{ с}$
$T_{\text{експ}} = \dfrac{t_{\text{сер}}}{N} = \dfrac{20{,}0\text{ с}}{10} = 2{,}0\text{ с}$
$\varepsilon = \left|\dfrac{T_{\text{експ}} - T_{\text{теор}}}{T_{\text{теор}}}\right| \cdot 100\% = \left|\dfrac{2{,}0 - 2{,}0}{2{,}0}\right| \cdot 100\% = 0\,\%$

9. Зазначте у висновку, чи збігаються експериментальні та теоретичні значення періоду. Укажіть причини можливих розбіжностей.

Експериментальне значення періоду з високою точністю збіглося з теоретичним. Невеликі розбіжності під час реальних вимірювань виникають через реакцію людини під час пуску й зупинки секундоміра, неточність вимірювання довжини нитки до центру мас тягарця та дію сили опору повітря.

ОПРАЦЮЙ ІНФОРМАЦІЮ

Перевір, чи всі приклади резонансу є правдивими.

• Оперний співак може розбити кришталевий келих голосом — це правда, оскільки при збігу частоти звуку з власною частотою келиха коливання скла стають занадто великими, і воно тріскається.
• Міст Такома-Нерроуз зруйнувався через резонансні коливання від вітру — у шкільному курсі фізики це наводиться як класичний приклад небезпечного механічного резонансу під дією потоків повітря.
• Резонанс може розігнати об’єкт настільки, що він телепортується — це міф і вигадка, яка суперечить усім законам фізики.
• Існує «резонансна пам’ять» предметів — це міф, подібне явище не існує в науці.
• Резонанс лежить в основі мікрохвильових печей і МРТ — це правда, адже нагрівання їжі ґрунтується на поглинанні хвиль молекулами води, а МРТ використовує ядерний магнітний резонанс атомів організму.