§ 7. ДОСЛІДЖУЄМО МЕХАНІЧНУ РОБОТУ Й ЕНЕРГІЮ

• Назад до змісту довідника

ДОСЛІДЖУЙ

Які об’єкти могли «запускати рух» інших?

«Запускати рух» інших тіл можуть рухомі об’єкти, які мають запас кінетичної енергії та імпульс, або деформовані чи підняті тіла, які накопичили потенціальну енергію та вивільняють її під час взаємодії.

1. Поклади м’яч на підлогу. Іншим м’ячем штовхни його. Що сталося з першим м’ячем? Як другий м’яч вплинув на нього?

Перший м’яч набув швидкості і покотився. Другий м’яч під час зіткнення подіяв на перший із силою пружності та передав йому частину свого імпульсу й кінетичної енергії.

2. Зігни злегка один край пластмасової лінійки. Поклади на нього гумку і відпусти край лінійки. Що змусило гумку летіти? Що зробила лінійка?

Гумку змусила летіти сила пружності зігнутої лінійки. Лінійка випрямилася, виконала механічну роботу за рахунок своєї потенціальної енергії пружної деформації і надала гумці початкової швидкості.

3. Заведи пружинну машинку і відпусти. Звідки вона «взяла силу» на рух?

Машинка отримала енергію для руху від стисненої (деформованої) заводної пружини. Під час заводу пружина накопичила потенціальну енергію, яка під час розкручування перетворилася на кінетичну енергію коліс і корпусу машинки.

4. Поклади на дошку під нахилом кульку. Відпусти її. Чому кулька почала котитися?

Кулька почала котитися під дією сили тяжіння, складова якої вздовж похилої площини не зрівноважена іншими силами. Під дією цієї сили кулька прискорюється, а її потенціальна енергія переходить у кінетичну енергію руху.

ДУМАЙ

1. Що таке повна механічна енергія тіла чи системи тіл?

Повна механічна енергія — це сума кінетичної енергії руху тіла та потенціальної енергії взаємодії тіл:
$E = E_{\text{к}} + E_{\text{п}}$

2. Чи можуть кінетична і потенціальна енергії тіла бути від’ємними?

Кінетична енергія $E_{\text{к}} = \dfrac{m v^2}{2}$ не може бути від’ємною, оскільки маса тіла та квадрат швидкості завжди є невід’ємними величинами. Потенціальна енергія може бути від’ємною, оскільки її значення залежить від довільного вибору нульового рівня відліку висоти чи положення.

3. Що спільного у виразах для роботи сили пружності і роботи сили тяжіння? Що спільного в потенціальних енергіях тіла, на яке діє сила тяжіння, і тіла, на яке діє сила пружності?

Спільним для роботи обох сил є те, що вона дорівнює зміні потенціальної енергії, взятій із протилежним знаком:
$A = -(E_{\text{п}_2} - E_{\text{п}_1})$
Робота цих сил не залежить від форми траєкторії руху, а залежить лише від початкового та кінцевого станів системи.

Спільним для потенціальних енергій є те, що обидві характеризують енергію взаємодії: у випадку тяжіння — взаємодію тіла із Землею, а у випадку пружності — взаємодію частинок деформованого тіла між собою.

4. Автомобіль рухається рівною дорогою. Чи здійснює роботу сила тяжіння, що діє на автомобіль?

Сила тяжіння не здійснює механічної роботи. Вона спрямована вертикально вниз, а переміщення автомобіля відбувається горизонтально; кут між вектором сили і вектором переміщення становить $90^\circ$, тому $\cos 90^\circ = 0$ і $A = 0$.

5. Тіло кинуто вертикально вгору. Визнач, додатну чи від’ємну роботу виконує сила тяжіння:
• а) під час підняття тіла;
Під час підняття тіла вектор сили тяжіння спрямований вниз, а переміщення — вгору (кут $\alpha = 180^\circ$, $\cos 180^\circ = -1$), тому сила тяжіння виконує від’ємну роботу ($A < 0$).
• б) під час його падіння.
Під час падіння тіла напрямки сили тяжіння та переміщення збігаються (кут $\alpha = 0^\circ$, $\cos 0^\circ = 1$), тому сила тяжіння виконує додатну роботу ($A > 0$).

РОЗВ’ЯЖИ ЗАДАЧІ

1. На яку відстань дівчинка перемістила санки, прикладаючи до мотузки санок силу 23 Н під кутом 30° до напряму руху і виконавши роботу 1,2 кДж?

Дано:

• $F = 23\text{ Н}$
• $\alpha = 30^\circ$
• $A = 1{,}2\text{ кДж} = 1200\text{ Дж}$
• $\cos 30^\circ \approx 0{,}866$

Знайти:

• $s - ?$

Розв’язання:
$A = F \cdot s \cdot \cos \alpha$
$s = \dfrac{A}{F \cdot \cos \alpha}$
$s = \dfrac{1200\text{ Дж}}{23\text{ Н} \cdot 0{,}866} \approx \dfrac{1200}{19{,}92} \approx 60\text{ м}$

Відповідь: $s \approx 60\text{ м}$.

2. Шофер вимкнув двигун автомобіля на швидкості 72 км/год. Пройшовши відстань 34 м, автомобіль зупинився. Якою була кінетична енергія автомобіля у момент вимкнення двигуна, якщо сила тертя коліс об дорогу 5880 Н? Яка маса автомобіля?

Дано:

• $v_0 = 72\text{ км/год} = 20\text{ м/с}$
• $v = 0\text{ м/с}$
• $s = 34\text{ м}$
• $F_{\text{тер}} = 5880\text{ Н}$

Знайти:

• $E_{\text{к}_0} - ?$
• $m - ?$

Розв’язання:
За теоремою про кінетичну енергію:
$A = E_{\text{к}} - E_{\text{к}_0}$
Оскільки автомобіль зупинився, $E_{\text{к}} = 0$:
$A = -E_{\text{к}_0}$
Робота сили тертя спрямована проти руху:
$A = -F_{\text{тер}} \cdot s$
$-F_{\text{тер}} \cdot s = -E_{\text{к}_0} \implies E_{\text{к}_0} = F_{\text{тер}} \cdot s$
$E_{\text{к}_0} = 5880\text{ Н} \cdot 34\text{ м} = 199\,920\text{ Дж} \approx 200\text{ кДж}$

Визначимо масу автомобіля:
$E_{\text{к}_0} = \dfrac{m v_0^2}{2} \implies m = \dfrac{2 E_{\text{к}_0}}{v_0^2}$
$m = \dfrac{2 \cdot 199\,920\text{ Дж}}{(20\text{ м/с})^2} = \dfrac{399\,840}{400} = 999{,}6\text{ кг} \approx 1000\text{ кг}$

Відповідь: $E_{\text{к}_0} = 200\text{ кДж}$; $m = 1000\text{ кг}$.

3. Яку роботу виконує сила тертя, коли автомобіль масою 1000 кг, що має швидкість 90 км/год, гальмує до швидкості 54 км/год?

Дано:

• $m = 1000\text{ кг}$
• $v_0 = 90\text{ км/год} = 25\text{ м/с}$
• $v = 54\text{ км/год} = 15\text{ м/с}$

Знайти:

• $A_{\text{тер}} - ?$

Розв’язання:
$A_{\text{тер}} = \Delta E_{\text{к}} = \dfrac{m v^2}{2} - \dfrac{m v_0^2}{2} = \dfrac{m}{2} (v^2 - v_0^2)$
$A_{\text{тер}} = \dfrac{1000\text{ кг}}{2} \cdot ((15\text{ м/с})^2 - (25\text{ м/с})^2) = 500 \cdot (225 - 625) = 500 \cdot (-400) = -200\,000\text{ Дж} = -200\text{ кДж}$
За модулем виконана робота становить $200\text{ кДж}$.

Відповідь: $A_{\text{тер}} = -200\text{ кДж}$ (модуль роботи дорівнює $200\text{ кДж}$).

4. Яку роботу виконує людина, піднімаючи тіло масою 2 кг на висоту 1 м з прискоренням 3 м/с²?

Дано:

• $m = 2\text{ кг}$
• $h = 1\text{ м}$
• $a = 3\text{ м/с}^2$
• $g = 9{,}8\text{ м/с}^2$

Знайти:

• $A - ?$

Розв’язання:
За другим законом Ньютона для тіла, що рухається вертикально вгору під дією прикладеної сили $F$ і сили тяжіння:
$F - m g = m a \implies F = m (g + a)$
$F = 2\text{ кг} \cdot (9{,}8\text{ м/с}^2 + 3\text{ м/с}^2) = 2 \cdot 12{,}8 = 25{,}6\text{ Н}$

Оскільки напрямок сили людини збігається з напрямком переміщення:
$A = F \cdot h$
$A = 25{,}6\text{ Н} \cdot 1\text{ м} = 25{,}6\text{ Дж}$

Відповідь: $A = 25{,}6\text{ Дж}$ (прикладена сила дорівнює $25{,}6\text{ Н}$).

5. Яку роботу треба виконати, щоб розтягнути пружину, жорсткість якої 40 кН/м, на 0,5 см?

Дано:

• $k = 40\text{ кН/м} = 4 \cdot 10^4\text{ Н/м}$
• $x = 0{,}5\text{ см} = 0{,}005\text{ м} = 5 \cdot 10^{-3}\text{ м}$

Знайти:

• $A - ?$

Розв’язання:
Виконана робота дорівнює набутій потенціальній енергії пружної деформації:
$A = E_{\text{п}} = \dfrac{k x^2}{2}$
$A = \dfrac{40\,000\text{ Н/м} \cdot (0{,}005\text{ м})^2}{2} = 20\,000 \cdot 0{,}000025 = 0{,}5\text{ Дж}$

Відповідь: $A = 0{,}5\text{ Дж}$.

6. Куля масою 3 кг падає з висоти 3 м на пружину і стискає її. Визнач максимальний стиск пружини, якщо її жорсткість 700 Н/м. Масою пружини знехтувати.

Дано:

• $m = 3\text{ кг}$
• $h = 3\text{ м}$
• $k = 700\text{ Н/м}$
• $g = 9{,}8\text{ м/с}^2$

Знайти:

• $x - ?$

Розв’язання:
За законом збереження механічної енергії початкова потенціальна енергія кулі переходить у потенціальну енергію стиснутої пружини:
$m g h = \dfrac{k x^2}{2}$
$x = \sqrt{\dfrac{2 m g h}{k}}$
$x = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 3\text{ кг} \cdot 9{,}8\text{ м/с}^2 \cdot 3\text{ м}}{700\text{ Н/м}}} = \sqrt{\dfrac{176{,}4}{700}} = \sqrt{0{,}252} \approx 0{,}5\text{ м}$

Відповідь: $x \approx 0{,}5\text{ м}$.

7. М’яч підкинули з висоти 1,5 м вертикально вгору зі швидкістю 3 м/с. На якій висоті від землі кінетична енергія м’яча дорівнюватиме потенціальній?

Дано:

• $h_0 = 1{,}5\text{ м}$
• $v_0 = 3\text{ м/с}$
• $g = 9{,}8\text{ м/с}^2$
• $E_{\text{к}} = E_{\text{п}}$

Знайти:

• $h - ?$

Розв’язання:
За законом збереження механічної енергії:
$E = E_{\text{к}_0} + E_{\text{п}_0} = \dfrac{m v_0^2}{2} + m g h_0$
На шуканій висоті $h$, де $E_{\text{к}} = E_{\text{п}}$, повна механічна енергія дорівнює:
$E = E_{\text{к}} + E_{\text{п}} = 2 E_{\text{п}} = 2 m g h$
Прирівняємо вирази повної енергії:
$2 m g h = \dfrac{m v_0^2}{2} + m g h_0$
Поділимо обидві частини на m:
$2 g h = \dfrac{v_0^2}{2} + g h_0 \implies h = \dfrac{v_0^2}{4 g} + \dfrac{h_0}{2}$
$h = \dfrac{(3\text{ м/с})^2}{4 \cdot 9{,}8\text{ м/с}^2} + \dfrac{1{,}5\text{ м}}{2} = \dfrac{9}{39{,}2} + 0{,}75 \approx 0{,}23 + 0{,}75 = 0{,}98\text{ м}$

Відповідь: $h = 0{,}98\text{ м}$.

8. Виконай завдання за симуляцією 7.1

Для дослідження перетворення енергії у віртуальній симуляції PhET «Скейт-парк»:

1. Запускаємо симуляцію та вмикаємо перегляд стовпчикових діаграм енергій.
2. Під час скочування скейтбордиста вниз бачимо поступове перетворення потенціальної енергії в кінетичну.
3. У найнижчій точці траєкторії кінетична енергія досягає максимуму, а потенціальна дорівнює нулю.
4. Під час підйому кінетична енергія переходить назад у потенціальну, при цьому повна механічна енергія системи (сума кінетичної та потенціальної) за відсутності тертя залишається постійною.

ВИКОНАЙ ДОСЛІДЖЕННЯ

1. Перевірте експериментально закон збереження механічної енергії в системі тіло–Земля на прикладі руху кульки похилим жолобом.

Обладнання: металева кулька, похилий жолоб, лінійка, терези, секундомір.

Хід виконання та обробка результатів:

1. Вимірюємо початкову висоту жолоба $h$ за допомогою лінійки та масу кульки m на терезах.
2. Відпускаємо кульку без початкової швидкості з верхньої точки жолоба.
3. Фіксуємо час $t$, за який кулька долає горизонтальну ділянку довжиною $s$, та визначаємо швидкість у нижній точці: $v = \dfrac{s}{t}$.
4. Обчислюємо потенціальну енергію на вершині: $E_{\text{п}} = m g h$.
5. Обчислюємо кінетичну енергію внизу жолоба: $E_{\text{к}} = \dfrac{m v^2}{2}$.
6. Порівнюємо отримані значення $E_{\text{п}}$ та $E_{\text{к}}$.

8. Зробіть висновок. Чому значення не ідентичні? Що могло вплинути на результат?

Значення кінетичної енергії внизу виявляється дещо меншим за початкову потенціальну енергію на вершині.

Значення не є ідентичними тому, що реальна система не є ідеально замкненою: частина механічної енергії витрачається на виконання роботи проти сил тертя кочення кульки об жолоб та опору повітря і перетворюється на внутрішню (теплову) енергію. На точність результату також вплинули похибки ручного вимірювання часу секундоміром, похибка лінійки та можливі нерівності самого жолоба.

2. Виконай віртуальну лабораторну роботу 7.2

Тема: Дослідження перетворення енергії у віртуальному середовищі.
Мета: Перевірити збереження повної механічної енергії та дослідити перетворення енергії на тепло під час тертя.
Хід роботи:

1. Завантажуємо інтерактивну модель PhET «Energy Skate Park».
2. За вимкненого тертя спостерігаємо, що сума кінетичної та потенціальної енергій є постійною величиною під час усього руху.
3. Умикаємо дію тертя: амплітуда коливань зменшується, механічна енергія поступово зменшується, а теплова енергія зростає на таку саму величину.
   Висновок: Експеримент доводить закон збереження повної енергії: за відсутності тертя зберігається повна механічна енергія, а за наявності опору механічна енергія переходить у внутрішню (теплову).

ОПРАЦЮЙ ІНФОРМАЦІЮ (7.3)

Дізнайся на сайтах закладів вищої освіти, де є спеціальність «Мехатроніка».

Спеціальність «Прикладна механіка» (освітня програма «Мехатроніка та робототехніка» / «Мехатронні системи») є в таких провідних закладах вищої освіти України:

• Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського» (КПІ);
• Національний університет «Львівська політехніка»;
• Національний аерокосмічний університет ім. М. Є. Жуковського «ХАІ» (Харків);
• Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут» (НТУ «ХПІ»);
• Національний університет біоресурсів і природокористування України (НУБІП).

Фахівці з мехатроніки проєктують сучасних роботів, автоматизовані виробничі лінії, верстати з ЧПК та розумні побутові пристрої.