§9. Учимося розв'язувати задачі

Зміст ГДЗ 7 клас Бар’яхтар

ВПРАВА № 9

1. Судно йде рівномірно зі швидкістю 7,5 м/с. Який шлях подолає судно за 2 год?

Дано:	Розв’язання:
$v = 7{,}5\text{ м/с}$ $t = 2\text{ год} = 7200\text{ с}$ Знайти: $l - ?$	Формула шляху для рівномірного руху: $l = v \cdot t$

Підставимо значення у формулу та обчислимо шлях:
$l = 7{,}5\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 7200\text{ с} = 54\,000\text{ м} = 54\text{ км}$

Відповідь: $l = 54\text{ км}$ .

Пояснення

Переводимо час руху судна в одиниці СІ (секунди): $2\text{ год} = 2 \cdot 3600\text{ с} = 7200\text{ с}$ .
Оскільки рух рівномірний, множимо швидкість судна на час його руху та переводимо отриманий результат із метрів у кілометри ( $54\,000\text{ м} = 54\text{ км}$ ).

2. Хлопчик, рухаючись із незмінною швидкістю, подолав відстань від свого будинку до шкільного стадіону за 1,5 хв. На зворотний шлях він витратив 70 с. Куди хлопчик рухався швидше — до стадіону чи додому? У скільки разів швидше?

Дано:	Розв’язання:
$t_1 = 1{,}5\text{ хв} = 90\text{ с}$ $t_2 = 70\text{ с}$ Знайти: $\dfrac{v_2}{v_1} - ?$	Швидкість на шляху до стадіону та додому: $v_1 = \dfrac{l}{t_1}; \quad v_2 = \dfrac{l}{t_2}$ Оскільки шлях l однаковий, на зворотний шлях витрачено менше часу ( $t_2 < t_1$ ), тому додому хлопчик рухався швидше ( $v_2 > v_1$ ). Знайдемо відношення швидкостей: $\dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{l}{t_2} : \dfrac{l}{t_1} = \dfrac{t_1}{t_2}$

Дано:

Розв’язання:

t_1 = 1{,}5\text{ хв} = 90\text{ с}

t_2 = 70\text{ с}

Знайти:

\dfrac{v_2}{v_1} - ?

Швидкість на шляху до стадіону та додому:

v_1 = \dfrac{l}{t_1}; \quad v_2 = \dfrac{l}{t_2}

Оскільки шлях l однаковий, на зворотний шлях витрачено менше часу (

t_2 < t_1

), тому додому хлопчик рухався швидше (

v_2 > v_1

). Знайдемо відношення швидкостей:

\dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{l}{t_2} : \dfrac{l}{t_1} = \dfrac{t_1}{t_2}

Підставимо числові значення:
$\dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{90\text{ с}}{70\text{ с}} = \dfrac{9}{7} = 1\dfrac{2}{7} \approx 1{,}3$

Відповідь: хлопчик рухався швидше додому приблизно в $1{,}3$ разу (або в $1\dfrac{2}{7}$ разу).

Пояснення

Переводимо час руху до стадіону в секунди: $1{,}5\text{ хв} = 1{,}5 \cdot 60\text{ с} = 90\text{ с}$ .
Відстань від будинку до стадіону і назад однакова. Оскільки на шлях додому хлопчик витратив менше часу ( $70\text{ с} < 90\text{ с}$ ), то додому він біг швидше.
Відношення швидкостей обернено пропорційне відношенню витраченого часу: ділимо $90\text{ с}$ на $70\text{ с}$ і отримуємо приблизно $1{,}3$ .

3. Автонавантажувач рухається рівномірно вздовж ряду контейнерів. Контейнери, завдовжки 12 м кожний, стоять упритул один до одного. З якою швидкістю рухається автонавантажувач, якщо повз 5 контейнерів він проїжджає за 1 хв?

Дано:	Розв’язання:
$l_1 = 12\text{ м}$ $N = 5$ $t = 1\text{ хв} = 60\text{ с}$ Знайти: $v - ?$	Загальний шлях уздовж 5 контейнерів: $l = N \cdot l_1$ Формула швидкості рівномірного руху: $v = \dfrac{l}{t} = \dfrac{N \cdot l_1}{t}$

Розрахуємо швидкість руху автонавантажувача:
$v = \dfrac{5 \cdot 12\text{ м}}{60\text{ с}} = \dfrac{60\text{ м}}{60\text{ с}} = 1\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$

Відповідь: $v = 1\text{ м/с}$ .

Пояснення

Оскільки 5 контейнерів стоять упритул один до одного, загальний пройдений шлях дорівнює: $l = 5 \cdot 12\text{ м} = 60\text{ м}$ .
Ділимо цей шлях на час руху в секундах ( $1\text{ хв} = 60\text{ с}$ ) і знаходимо швидкість: $1\text{ м/с}$ .

4. Під час змагань перший учень біг 2 хв зі швидкістю 12 км/год, другий подолав 1 км за 6 хв, третій пробіг 500 м зі швидкістю 12,5 км/год. Хто з учнів рухався найшвидше? подолав найбільшу відстань? біг довше за всіх?

Дано:	Розв’язання:
$t_1 = 2\text{ хв} = \dfrac{1}{30}\text{ год}$ $v_1 = 12\text{ км/год}$ $l_2 = 1\text{ км}$ $t_2 = 6\text{ хв} = 0{,}1\text{ год}$ $l_3 = 500\text{ м} = 0{,}5\text{ км}$ $v_3 = 12{,}5\text{ км/год}$ Знайти: $v_{\max} - ?$ $l_{\max} - ?$ $t_{\max} - ?$	Знайдемо невідомі величини для кожного учня за формулами рівномірного руху: Відстань, яку подолав перший учень: $l_1 = v_1 \cdot t_1$ Швидкість другого учня: $v_2 = \dfrac{l_2}{t_2}$ Час руху третього учня: $t_3 = \dfrac{l_3}{v_3}$

Виконаємо обчислення:
$l_1 = 12\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}} \cdot \dfrac{1}{30}\text{ год} = 0{,}4\text{ км} = 400\text{ м}$
$v_2 = \dfrac{1\text{ км}}{0{,}1\text{ год}} = 10\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}$
$t_3 = \dfrac{0{,}5\text{ км}}{12{,}5\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}} = 0{,}04\text{ год} = 2{,}4\text{ хв}$

Порівняємо отримані значення:

Швидкості ( $v_1 = 12\text{ км/год}$ , $v_2 = 10\text{ км/год}$ , $v_3 = 12{,}5\text{ км/год}$ ): найшвидше рухався третій учень.
Відстані ( $l_1 = 400\text{ м}$ , $l_2 = 1000\text{ м}$ , $l_3 = 500\text{ м}$ ): найбільшу відстань подолав другий учень.
Час руху ( $t_1 = 2\text{ хв}$ , $t_2 = 6\text{ хв}$ , $t_3 = 2{,}4\text{ хв}$ ): найдовше біг другий учень.

Відповідь: найшвидше рухався третій учень ( $12{,}5\text{ км/год}$ ); найбільшу відстань подолав другий учень ( $1\text{ км}$ ); довше за всіх біг другий учень ( $6\text{ хв}$ ).

Пояснення

Зручно виразити всі величини в кілометрах і годинах: $2\text{ хв} = \dfrac{2}{60}\text{ год} = \dfrac{1}{30}\text{ год}$ , $6\text{ хв} = \dfrac{6}{60}\text{ год} = 0{,}1\text{ год}$ , $500\text{ м} = 0{,}5\text{ км}$ .
Обчислюємо відсутні параметри для кожного з трьох учнів (шлях першого, швидкість другого та час третього), після чого порівнюємо однойменні величини між собою.

5. Потяг їде зі швидкістю 20 м/с, а назустріч йому по сусідній колії рухається другий потяг — зі швидкістю 36 км/год. Скільки часу потяги будуть проїжджати один повз одного, якщо довжина першого потяга — 900 м, а другого — 600 м?

Дано:	Розв’язання:
$v_1 = 20\text{ м/с}$ $v_2 = 36\text{ км/год} = 10\text{ м/с}$ $l_1 = 900\text{ м}$ $l_2 = 600\text{ м}$ Знайти: $t - ?$	Загальний шлях відносно другого потяга дорівнює сумі довжин обох потягів: $l = l_1 + l_2$ Швидкість зближення потягів, що рухаються назустріч один одному: $v = v_1 + v_2$ Час проходження потягів один повз одного: $t = \dfrac{l}{v} = \dfrac{l_1 + l_2}{v_1 + v_2}$

Дано:

Розв’язання:

v_1 = 20\text{ м/с}

v_2 = 36\text{ км/год} = 10\text{ м/с}

l_1 = 900\text{ м}

l_2 = 600\text{ м}

Знайти:

t - ?

Загальний шлях відносно другого потяга дорівнює сумі довжин обох потягів:

l = l_1 + l_2

Швидкість зближення потягів, що рухаються назустріч один одному:

v = v_1 + v_2

Час проходження потягів один повз одного:

t = \dfrac{l}{v} = \dfrac{l_1 + l_2}{v_1 + v_2}

Обчислимо час проходження потягів:
$t = \dfrac{900\text{ м} + 600\text{ м}}{20\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}} + 10\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}} = \dfrac{1500\text{ м}}{30\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}} = 50\text{ с}$

Відповідь: $t = 50\text{ с}$ .

Пояснення

Переводимо швидкість другого потяга в одиниці СІ: $36\text{ км/год} = \dfrac{36 \cdot 1000\text{ м}}{3600\text{ с}} = 10\text{ м/с}$ .
Оскільки потяги рухаються назустріч один одному, їхня відносна швидкість (швидкість зближення) дорівнює сумі їхніх швидкостей: $v = 20\text{ м/с} + 10\text{ м/с} = 30\text{ м/с}$ .
Від моменту зустрічі головних вагонів до моменту розходження останніх вагонів потяги мають подолати один відносно одного відстань, що дорівнює сумі їхніх довжин: $l = 900\text{ м} + 600\text{ м} = 1500\text{ м}$ . Ділимо цю відстань на швидкість зближення й отримуємо $50\text{ с}$ .

6. Кореспондент, який брав інтерв’ю в команди швидкісного вітрильника «L’Hydroptere», написав, що під час змагань вітрильник супроводжували дельфіни, які не відставали, навіть якщо той рухався зі швидкістю 55 вузлів. Чи могло таке бути?

Дано:	Розв’язання:
$v_{\text{вітр}} = 55\text{ вузлів}$ $1\text{ вузол} = 1{,}852\text{ км/год}$ $v_{\text{дельф}} \approx 55\text{–}60\text{ км/год}$ Знайти: Чи могло таке бути?	Переведемо швидкість вітрильника з морських вузлів у $\text{км/год}$ та порівняємо її з максимальною швидкістю руху дельфінів: $v_{\text{вітр}} = 55 \cdot 1{,}852\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}$

Виконаємо обчислення:
$v_{\text{вітр}} = 55 \cdot 1{,}852\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}} = 101{,}86\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}$

Максимальна швидкість, яку можуть розвивати дельфіни у воді, становить близько $55\text{–}60\text{ км/год}$ , що майже вдвічі менше за швидкість вітрильника ( $v_{\text{дельф}} < v_{\text{вітр}}$ ).

Відповідь: ні, таке бути не могло, оскільки дельфіни не здатні пливти зі швидкістю понад $100\text{ км/год}$ .

Пояснення

У морській навігації швидкість вимірюють у вузлах: $1\text{ вузол}$ дорівнює $1\text{ морській милі за годину}$ , тобто $1{,}852\text{ км/год}$ .
Швидкість вітрильника у $55\text{ вузлів}$ становить $101{,}86\text{ км/год}$ , тоді як дельфіни здатні розвивати швидкість щонайбільше до $55\text{–}60\text{ км/год}$ , тому кореспондент припустився помилки.