§5. Будуємо графіки прямолінійного рівномірного руху

ГДЗ Фізика 7 клас Засєкіна

Розглянь малюнок 5.1. Установи відповідність між точками та їх координатами (1-5):

(-2; -1,5)
(-2; 1,5) - C
(1,5; -2) - A
(-1,5; -2) - D
(2; 1,5) - B

Укажи, якою літерою зображено графік, що накреслила Єва, і графік Сашка. Швидкість якого потяга більша? Як це можна визначити?

Чим крутіше крива (кут нахилу більший) тим швидкість більша. В цьому випадку графік а)

ДУМАЙ

У чому різниця між траєкторією тіла і графіком його руху?

Траєкторія тіла - це лінія, яку описує тіло під час свого руху в просторі. Графік руху - це зображення залежності певної характеристики руху (наприклад, координати, швидкості чи пройденого шляху) від часу на координатній площині. Траєкторія показує реальний шлях тіла, а графік відображає зміну параметрів руху з часом.

На малюнку 5.8 зображено графіки залежності координати і пройденого шляху від часу для обох випадків руху. Поясни, у якому з графіків допущено помилку.

На малюнку 5.8 графік (а) показує залежність координати від часу, а графік (б) — залежність пройденого шляху від часу. Помилка допущена в графіку (б). Пройдений шлях не може зменшуватися з часом, тому що це фізично неможливо. Шлях завжди збільшується або залишається сталим.

З якою швидкістю рухається автомобіль, якщо графік його руху має вигляд, як на малюнку 5.9?

На малюнку 5.9 графік показує, що автомобіль проїжджає 480 км за 6 годин. Щоб знайти швидкість, потрібно розділити пройдений шлях на час:

$v = \dfrac{L}{t} = \dfrac{480 \text{ км}}{6 \text{ год}} = 80 \text{ км/год}$

Отже, швидкість автомобіля становить 80 км/год.

На малюнку 5.10 (с. 51) зображено графіки залежності пройденого шляху від часу для двох тіл. У якого з тіл швидкість руху більша? У скільки разів?

На малюнку 5.10 графік 1 (синій) має більший нахил, ніж графік 2 (червоний), що означає, що швидкість тіла 1 більша. Щоб визначити, у скільки разів швидкість тіла 1 більша за швидкість тіла 2, можна порівняти нахили графіків:

Тіло 1: проходить 60 км за 6 години, швидкість = 10 км/год.
Тіло 2: проходить 40 км за 7 годин, швидкість ≈ 40/7 км/год.

Таким чином, швидкість тіла 1 більша приблизно в 1.75 рази.

РОЗВ’ЯЖИ ЗАДАЧІ

Побудуй графіки залежності для мотоцикла, що рухається зі сталою швидкістю 60 км/год протягом 20 хв.

Дано:

$v = 60 км/год$
$t = 20 хв$

Знайти:

$v(t)$ - ?
$L(t)$ - ?

Щоб побудувати графіки залежності для мотоцикла, що рухається зі сталою швидкістю 60 км/год протягом 20 хвилин, потрібно врахувати такі залежності:

Залежність шляху від часу:

$L = v \cdot t$ ,
де t в хвилинах.
$L = 60 \cdot \dfrac{t}{60} = t = 20$ км,
де t в км

На малюнку 5.11 зображено графік залежності швидкості від часу. Визнач шлях, який пройдено за 45 хв. Побудуй графік залежності пройденого шляху від часу.

Визнач шлях, який пройдено за 45 хв. Побудуй графік залежності пройденого шляху від часу.

Дано:

$t = 45$ хв = 0.75 год
$v = 20$ км/год

Знайти:

$L$ - ?
$L(t)$ - ?

Розв’язок:

На малюнку 5.11 швидкість автомобіля становить 20 км/год. Щоб знайти шлях, пройдений за 45 хвилин (0.75 години), використовуємо формулу:

L = v \cdot t = 20 \, \text{км/год} \cdot 0.75 \, \text{год} = 15 \, \text{км}

Отже, автомобіль пройшов 15 км за 45 хвилин.

Користуючись графіком залежності пройденого шляху від часу (мал. 5.12), побудуй графік залежності швидкості від часу.

Дано:

$t = 3$ год
$L = 120$ км

Знайти:

$v(t)$ - ?

Розв’язок:

На малюнку 5.12 видно, що тіло проходить 120 км за 3 години. Швидкість можна розрахувати за формулою:

Дано:

$t = 3$ год
$L = 120$ км

Знайти:

$v(t)$ - ?

Розв’язок:

v = \dfrac{L}{t} = \dfrac{120 \, \text{км}}{3 \, \text{год}} = 40 \, \text{км/год}

Оскільки швидкість постійна, графік залежності швидкості від часу буде горизонтальною лінією на рівні 40 км/год.

На малюнку 5.13 зображено положення двох тіл у момент початку спостереження. Запиши рівняння руху тіл. Визнач: а) час і місце зустрічі тіл; б) шлях, який пройшли тіла до моменту зустрічі. Побудуй графіки залежності для кожного з тіл.

Дано:

$x_{car0} = 0$
$x_{bus0} = 360$ км
$v_{car} = 80$ км/год
$v_{bus} = 40$ км/год

Знайти:

$t_{зуст}$ - ?
$x_{зуст}$ - ?
$L_{car}$ - ?
$L_{bus}$ - ?
Графіки залежностей

Розв’язок:

Рівняння руху тіл

Для автомобіля: $x_{car} = v_{car} \cdot t = 80\cdot t$
Для автобуса: $x_{bus} = x_{bus0} - v_{bus} \cdot t = 360 - 40\cdot t$

де x - положення (км), t - час (год).

Час і місце зустрічі

а) Щоб знайти час зустрічі, прирівняємо рівняння:

$80\cdot t = 360 - 40 \cdot t$
$120\cdot t = 360$
$t = 3$ години

Місце зустрічі знаходимо, підставивши t = 3:

$x_{car} = 80 \cdot 3 = 240$ км

Отже, автомобіль і автобус зустрінуться через 3 години на відстані 240 км від початкового положення автомобіля.

Шлях до моменту зустрічі

б) Шлях, пройдений тілами:

$L_{car}$ = $80 \cdot 3 = 240$ км
$L_{bus}$ = $40 \cdot 3 = 120$ км

Загальний шлях, пройдений обома транспортними засобами: 240 + 120 = 360 км.

На малюнку 5.14 зображено графіки залежності координати тіла від часу. Визнач: а) відстань між тілами в момент початку спостереження; б) час і координату зустрічі тіл; в) швидкості руху тіл; г) шляхи, пройдені тілами до моменту зустрічі; ґ) відстань між тілами через 10 с від початку спостереження.

Дано:

$x_{1} = 0$
$x_{2} = - 80$ м
$t = 10$ c

Знайти:

$S_{поч}$ - ?
$S_{кін}$ - ?
$t$ - ?
$x_1$ - ?
$x_2$ - ?
$v_{1}$ - ?
$v_{2}$ - ?
$L_{1}$ - ?
$L_{2}$ - ?

Розв’язок:

На основі графіків на малюнку 5.14 проаналізуємо рух двох тіл.

а) Відстань між тілами на початку спостереження

На початку спостереження (t = 0):

Тіло 1 (червона лінія) знаходиться в точці $x_{1} = 0$
Тіло 2 (синя лінія) знаходиться в точці $x_{2} = - 80$ м

Отже, початкова відстань між тілами:

$S_{поч} = 0 - (-80) = 80$ м

Відповідь: 80 м

б) Час і координата зустрічі тіл

З графіка видно, що лінії перетинаються в точці:

Час: t = 8 с
Координата: x = 80 м

Відповідь: час 8 с, координата 80 м

в) Швидкості руху тіл

Швидкість можна визначити за формулою:

$v = \dfrac{x - x_0}{t}$ , де
$x$ - кінцева, $x_0$ - початкова
Для тіла 1 (червона лінія):
$v_1 = \dfrac{80 - 0}{8} = 10$ м/с
Для тіла 2 (синя лінія):
$v_2 = \dfrac{80 - (-80)}{8} = 20$ м/с

Відповідь: 10 м/с, 20 м/с

г) Шляхи, пройдені тілами до моменту зустрічі

До моменту зустрічі (t = 8 с):

$L_1 = 10 \cdot 8 = 80$ м
$L_2 = 20 \cdot 8 = 160$ м

Відповідь: тіло 1 пройшло 80 м, тіло 2 пройшло 160 м

ґ) Відстань між тілами через 10 с

Через 10 с від початку спостереження:

Тіло 1: $x_1 = 10 \cdot 10 = 100$ м
Тіло 2: $x_2 = -80 + 20 \cdot 10 = 120$ м

Відстань між тілами: $S_{кін} = 120 - 100 = 20$ м

Відповідь: 20 м

Від автостанції вирушив міжміський автобус зі швидкістю 75 км/год. Через 40 хв за тим сами маршрутом вирушило маршрутне таксі зі швидкістю 100 км/год. Через який час від початку руху автобуса маршрутне таксі буде на відстані 25 км позаду від автобуса? Через який час маршрутне таксі наздожене автобус? Побудуй на одному малюнку графіки залежності швидкість від часу для автобуса й маршрутного таксі.

Дано:

$v_{a} = 75$ км/год
$v_{t} = 100$ км/год
${\Delta} S = 25$ км
$t = 40$ хв

Знайти:

$t$ - ?
$t_1$ - ?

Для розв’язання цієї задачі розглянемо рух автобуса та маршрутного таксі окремо, а потім проаналізуємо їх взаємне розташування.

Рух автобуса

Швидкість автобуса: $v_a = 75$ км/год

Рівняння руху автобуса:

$x_a = 75 \cdot t$

де t - час у годинах від початку руху автобуса.

Рух маршрутного таксі

Швидкість таксі: $v_t = 100$ км/год

Час затримки старту: $t_z = \dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3}$ год

Рівняння руху таксі:

$x_t = 100 \cdot (t - \dfrac{2}{3})$

Відстань 25 км позаду автобуса

Щоб знайти час, коли таксі буде на 25 км позаду автобуса, складемо рівняння:

$x_a - x_t = {\Delta} S$
$75 \cdot t - 100 \cdot (t - \dfrac{2}{3}) = 25$
$75 \cdot t - 100 \cdot t + \dfrac{200}{3} = 25$
$25 \cdot t = \dfrac{200}{3} - \dfrac{75}{3}$
$t = \dfrac{5}{3}$ год

Час, коли таксі наздожене автобус

Для знаходження часу, коли таксі наздожене автобус, прирівняємо їх координати:

$75t = 100(t - \dfrac{2}{3})$
$75 \cdot t = 100 \cdot t - \dfrac{200}{3}$
$\dfrac{200}{3} = 25 \cdot t$
$t = \dfrac{200}{75} = \dfrac{8}{3}$ год, або 2 год 40 хв від початку руху автобуса.

Рух двох тіл заданий рівняннями х = 5t та х = 150 - 10t. Знайди час і місце зустрічі тіл графічно та аналітично.

Для розв’язання цієї задачі використаємо обидва методи: графічний та аналітичний.

Графічний метод

Побудуємо графіки руху обох тіл на одній координатній площині:

Перше тіло: x = 5t (пряма лінія, що проходить через початок координат)
Друге тіло: x = 150 - 10t (пряма лінія, що перетинає вісь y в точці 150)

Підставим довільне значення t й побудуєм прямі. Точка перетину цих двох прямих і буде місцем зустрічі тіл.

Аналітичний метод

Для знаходження часу і місця зустрічі аналітично, прирівняємо рівняння руху обох тіл:

$5 \cdot t = 150 - 10 \cdot t$

Розв’яжемо це рівняння:

$15 \cdot t = 150$
$t = 10$ с

Отже, час зустрічі становить 10 секунд.

Тепер підставимо знайдений час у будь-яке з рівнянь руху, щоб знайти координату зустрічі:

$x = 5 \cdot 10 = 50$ м

Відповідь

Час зустрічі: 10 секунд

Місце зустрічі: 50 метрів від початку відліку.

Обидва методи дають однаковий результат, що підтверджує правильність розв’язку.

Склади й розв’яжи задачу, якщо тобі відомо про рух тіл за їхніми графіками (мал. 5.15).

Задача:

Два автомобілі рухаються по прямій дорозі. Перший автомобіль починає рухатися з початкової точки одночасно. Другий автомобіль через 4 год. Графік синьою лінією показує рух першого автомобіля, а червоною лінією — рух другого автомобіля.

Визначте швидкість кожного автомобіля.
Визначте, коли і де автомобілі зустрілися.

Розв’язок:

Швидкість автомобілів:

Синя лінія: автомобіль проходить 120 км за 6 годин. Швидкість

$v_1 = \dfrac{120 \text{ км}}{6 \text{ год}} = 20 \text{ км/год}$ .

Червона лінія: автомобіль проходить 120 км за 2 години. Швидкість

$v_2 = \dfrac{120 \text{ км}}{2 \text{ год}} = 60 \text{ км/год}$

Місце і час зустрічі:

За цей час перший автомобіль проїде

$L_1 = v_1 \cdot 6 = 20 \cdot 6 = 120 \text{ км}$

Другий автомобіль виїхав з запізненням 4 год проїде

$L_2 = v_2 \cdot 6 = 60 \cdot (6-4) = 120 \text{ км}$ ,

Отже, автомобілі зустрічаються на відстані 120 км від початкової точки.