§20. Учимося розв’язувати задачі

• Зміст ГДЗ 7 клас Бар’яхтар

ВПРАВА № 20

1. М’яч масою 600 г кинуто вертикально вгору зі швидкістю 5 м/с. Знайдіть імпульс м’яча на початку руху та у верхній точці траєкторії.

Дано:
$m = 600 \, \text{г} = 0{,}6 \, \text{кг}$
$v_0 = 5 \, \dfrac{м}{\text{с}}, \quad v_1 = 0$
$p_0 \, - ? , \quad p_1 \, - ?$
Розв’язання:
Формула для імпульсу:
$p = m v$
Початковий імпульс:
$p_0 = m v_0$
Підставляємо значення:
$p_0 = 0{,}6 \, \text{кг} \cdot 5 \, \dfrac{м}{\text{с}} = 3 \, \text{кг} \cdot  \dfrac{м}{\text{с}}$
Знаходимо кінцевий імпульс:
$p_1 = m v_1$
$p_1 = 0{,}6 \, \text{кг} \cdot 0 = 0$
Відповідь: $p_0 = 3 \, \text{кг} \cdot \dfrac{м}{\text{с}}, \quad p_1 = 0$

2. Кіт женеться за мишею. Чи зможе кіт наздогнати мишу, якщо імпульс кота дорівнює імпульсу миші?

Дано:
$p_k = p_m$
$\dfrac{m_k}{m_m} > 1$
$\dfrac{v_m}{v_k} - ?$
Розв’язання:
За означенням $p = m v$
З рівності $p_k = p_m$ випливає:
$m_k v_k = m_m v_m$.
Виразимо відношення швидкостей:
$\dfrac{v_m}{v_k} = \dfrac{m_k}{m_m}$
Оскільки $\dfrac{m_k}{m_m} > 1$, то: $\dfrac{v_m}{v_k} > 1$.

$v_m > v_k$, тобто кіт не зможе наздогнати мишу.

 Відповідь: $\dfrac{v_m}{v_k} > 1;$ не зможе.

3. Два тіла рухаються вздовж однієї прямої. Маса першого тіла вдвічі більша за масу другого, а швидкість руху другого тіла втричі менша від швидкості руху першого. 1) Знайдіть відношення модулів імпульсів цих тіл. 2) Знайдіть сумарний імпульс цих тіл, якщо маса й швидкість руху першого тіла дорівнюють 200 г і 6 м/с відповідно. Розгляньте два випадки: а) тіла рухаються в одному напрямку; б) тіла рухаються в протилежних напрямках.

Дано:
1) $m_1 = 2m_2$
$v_{1} = 3v_{2}$
2) $m_1 = 200 \, \text{г} = 0{,}2 \, \text{кг}$
$v_1 = 6 \, \dfrac{м}{\text{с}}$
1) $\dfrac{p_1}{p_2} - ?$
2) a) $p - ?$
б) $p -?$
Розв’язання:
1) Використовуючи формули для імпульсу:
$p_1 = m_1 v_1$,
$p_2 = m_2 v_2$. 

Відношення імпульсів:
$\dfrac{p_1}{p_2} = \dfrac{m_1 v_1}{m_2 v_2}$.

Підставляємо значення:
$\dfrac{p_1}{p_2} = \dfrac{2 m_2 \cdot 3 v_2}{m_2 v_2} = 6$.
2) Знаходимо імпульси:
$p_1 = m_1 v_1 = 0{,}2 \, \text{кг} \cdot 6 \, \dfrac{м}{\text{с}} = 1{,}2 \, \text{кг} \cdot \dfrac{м}{\text{с}}$
Відношення імпульсів:
$p_1 = 6 p_2$, тому:
$p_2 = \dfrac{p_1}{6} = \dfrac{1{,}2 \, \text{кг} \cdot \dfrac{м}{\text{с}}}{6} = 0{,}2 \, \text{кг} \cdot \dfrac{м}{\text{с}}$
а) Сумарний імпульс:
$p = p_1 + p_2 = 1{,}2 \, \text{кг} \cdot \dfrac{м}{\text{с}} + 0{,}2 \, \text{кг} \cdot \dfrac{м}{\text{с}} = 1{,}4 \, кг\cdot\dfrac{м}{\text{с}}$
б) Різниця імпульсів:
$p = p_1 - p_2 = 1{,}2 - 0{,}2 = 1\, кг\cdot\dfrac{м}{\text{с}}$
Відповідь: 1) $\dfrac{p_1}{p_2} = 6$
2) а) Сумарний імпульс: $p = 1{,}4\, кг\cdot\dfrac{м}{\text{с}}$
б) Різниця імпульсів: $p = 1\, кг\cdot\dfrac{м}{\text{с}}$

4. Кулька масою 100 г влучає в нерухому кульку масою 150 г і застрягає в ній (рис. 1). Визначте швидкість руху кульки до зіткнення, якщо після зіткнення система рухалася зі швидкістю 10 м/с.

Дано:
$m_1 = 100 \, \text{г} = 0{,}1 \, \text{кг}$
$v_{02} = 0$
$m_2 = 150 \, \text{г} = 0{,}15 \, \text{кг}$
$v = 10 \, \dfrac{\text{м}}{\text{с}}$
$v_{01} = ?$
Розв’язання:
Закон збереження імпульсу:
$m_1 v_{01} + m_2 v_{02} = (m_1 + m_2) v$
Оскільки $v_{02} = 0$, то: $m_1 v_{01} = (m_1 + m_2) v$
Звідси:
$v_{01} = \dfrac{(m_1 + m_2) v}{m_1}$
Підставляємо значення:
$v_{01} = \dfrac{(0{,}1 \, \text{кг} + 0{,}15 \, \text{кг}) 10 \, \dfrac{\text{м}}{\text{с}}}{0{,}1 \, \text{кг}} = \dfrac{2{,}5 \, \dfrac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}}{0{,}1 \, \text{кг}} = 25 \, \dfrac{\text{м}}{\text{с}}$
Відповідь: $v_{01} = 25 \, \dfrac{\text{м}}{\text{с}}$

5. Зі старовинної гармати, установленої на рівній горизонтальній поверхні, горизонтально випущено ядро зі швидкістю 400 м/с. Якої швидкості набуде гармата після пострілу, якщо маса ядра 20 кг, а маса гармати 2 т?

Дано:
$v_2 = 0$
$v_1 = 400 \, \dfrac{м}{\text{с}}$
$m_1 = 20 \, \text{кг}$
$m_2 = 2000 \, \text{кг}$
$v_2 = ?$
Розв’язання:
Закон збереження імпульсу:
$0 = m_1 v_1 - m_2 v_2$
Звідси:
$m_2 v_2 = m_1 v_1 \Rightarrow \text{ }$$v_2 = \dfrac{m_1 v_1}{m_2}$
Підставляємо значення:
$v_2 = \dfrac{20 \, \text{кг} \cdot 400 \, \dfrac{м}{\text{с}}}{2000 \, \text{кг}} = 4 \, \dfrac{м}{\text{с}}$
Відповідь:
$v_2 = 4 \, \dfrac{м}{\text{с}}$

6. Складіть і розв’яжіть задачу за поданими на рис. 2 даними

Дано:
$m_1 = 10 \, \text{кг}$,
$v_{01} = 20 \, \dfrac{\text{м}}{\text{с}}$,
$m_2 = 8 \, \text{кг}$,
$v_{02} = 5 \, \dfrac{\text{м}}{\text{с}}$,
$v_1 = 10 \, \dfrac{\text{м}}{\text{с}}$
$v_2 - ?$
Розв’язання:
Закон збереження імпульсу:
$m_1 v_{01} + m_2 v_{02} = m_1 v_1 + m_2 v_2$
Звідси:
$v_2 = \dfrac{m_1 v_{01} + m_2 v_{02} - m_1 v_1}{m_2}$
Підставляємо значення:
$v_2 = \dfrac{10 \cdot 20 + 8 \cdot 5 - 10 \cdot 10}{8}$
Відповідь: $v_2 = 17.5 \, \dfrac{\text{м}}{\text{с}}$

7. Із човна масою 200 кг, що рухається зі швидкістю 2 м/с, стрибає хлопчик масою 50 кг зі швидкістю 6 м/с відносно поверхні землі. Визначте швидкість руху човна після стрибка, якщо хлопчик стрибає: а) з корми човна горизонтально в бік, протилежний рухові човна; б) з носа човна горизонтально в напрямку руху човна. Якою має бути швидкість руху хлопчика, щоб після стрибка з носа човен зупинився?

Дано:
$m_2 = 200 \, \text{кг}$
$v_{0} = 2 \, \dfrac{м}{\text{с}}$
$m_1 = 50 \, \text{кг}$
$v_{1} = 6 \, \dfrac{м}{\text{с}}$
а) $v_2 = ?$
б) $v_{2} = ?$, $v_{1x} = ?$
Розв’язання:
а) Закон збереження імпульсу:
$(m_1 + m_2) v_0 = m_1 v_{01} + m_2 v_2$
Звідси:
$v_2 = \dfrac{(m_1 + m_2) v_0 - m_1 v_{01}}{m_2}$
Підставляємо значення:
$v_2 = \dfrac{(200 + 50) \cdot 2 - 50 \cdot 6}{200} = 4\,\dfrac{м}{\text{с}}$
б)
$(m_1 + m_2) v_{0} = m_1 v_{1} + m_2 v_{2}$
Звідси:
$v_{2} = \dfrac{(m_1 + m_2) v_0 - m_1 v_1}{m_1} = \dfrac{(200 + 50) \cdot 2 - 50 \cdot 6}{200} = 1\,\dfrac{м}{\text{с}}$ 
$(m_1 + m_2) v_0 = m_1 v_{1x} + m_2 v_2$
$v_2 = 0$, тоді
$v_{1x} = \dfrac{(m_1 + m_2) v_0}{m_1} = \dfrac{(200 \, \text{кг} + 50 \, \text{кг}) \cdot 2 \, м/\text{с}}{200 \, \text{кг}} = 2.5 \, м/\text{с}$
Відповідь: a) $v_2 = 4\,\dfrac{м}{\text{с}}$
б) $v_2 = 1\,\dfrac{м}{\text{с}}$, $v_1 = 2,5\,\dfrac{м}{\text{с}}$