§20. Учимося розв’язувати задачі

Зміст ГДЗ 7 клас Бар’яхтар

А ЯК НАСПРАВДІ?

Чи згодні ви з тим, що можна так розв’язувати фізичні задачі?

Математично відповідь буде правильною, проте у фізиці так розв’язувати задачі не заведено. Розв’язання в загальному вигляді дозволяє перевірити одиниці вимірювання, побачити фізичну залежність між величинами та уникнути помилок у проміжних обчисленнях.

Задача 3. Систему «кулька 1 — кулька 2» можна вважати замкненою. Поміркуйте чому.

Сила тяжіння Землі зрівноважена силою реакції опори горизонтальної поверхні, а силою тертя та опором повітря під час короткочасного зіткнення кульок можна знехтувати.

ДОСЛІДЖЕННЯ

Дослідіть центральне зіткнення пар кришечок: 1) важка кришечка нерухома, а дві інші по черзі зіштовхуються з нею; 2) кришечки рухаються назустріч одна одній; 3) одна з кришечок наздоганяє іншу. Поясніть результати зіткнень. Запишіть для кожного випадку закон збереження імпульсу.

1. Легка кришечка ( $m_1$ ) налітає на нерухому важку ( $m_2$ , $v_{02} = 0$ ): після удару легка кришечка відскакує назад, а важка трохи зміщується вперед; закон збереження імпульсу в проєкції на вісь руху першої кришечки: $m_1 v_{01} = -m_1 v_1 + m_2 v_2$ .
1. Дві кришечки рухаються назустріч одна одній і після удару розлітаються в протилежні боки (або рухаються в бік тієї, що мала більший імпульс); закон збереження імпульсу: $m_1 v_{01} - m_2 v_{02} = -m_1 v_1 + m_2 v_2$ .
1. Перша кришечка наздоганяє другу й передає їй частину свого імпульсу, внаслідок чого швидкість другої кришечки збільшується, а першої — зменшується (або вона відскакує назад, якщо друга кришечка важча); закон збереження імпульсу: $m_1 v_{01} + m_2 v_{02} = m_1 v_1 + m_2 v_2$ .

ВПРАВА № 20

1. М’яч масою 600 г кинуто вертикально вгору зі швидкістю 5 м/с. Знайдіть імпульс м’яча на початку руху та у верхній точці траєкторії.

Дано:	Розв’язання:
$m = 600\text{ г} = 0{,}6\text{ кг}$ $v_0 = 5\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ $v_1 = 0$ Знайти: $p_0 - ?$ $p_1 - ?$	Модуль імпульсу тіла визначається за формулою: $p = m \cdot v$ Тоді на початку руху та у верхній точці траєкторії: $p_0 = m \cdot v_0$ $p_1 = m \cdot v_1$

Обчислимо початковий імпульс м’яча:
$p_0 = 0{,}6\text{ кг} \cdot 5\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}} = 3\text{ кг}\cdot\text{м/с}$

У верхній точці траєкторії м’яч миттєво зупиняється ( $v_1 = 0$ ), тому його імпульс дорівнює нулю:
$p_1 = 0{,}6\text{ кг} \cdot 0\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}} = 0$

Відповідь: $p_0 = 3\text{ кг}\cdot\text{м/с}$ ; $p_1 = 0$ .

Пояснення

Переводимо масу м’яча в систему СІ: $600\text{ г} = 0{,}6\text{ кг}$ .
На початку руху імпульс дорівнює добутку маси на початкову швидкість: $p_0 = m \cdot v_0 = 3\text{ кг}\cdot\text{м/с}$ .
У найвищій точці підйому швидкість м’яча дорівнює нулю, отже, й імпульс у цій точці дорівнює нулю.

2. Кіт женеться за мишею. Чи зможе кіт наздогнати мишу, якщо імпульс кота дорівнює імпульсу миші?

Дано:	Розв’язання:
$p_{\text{к}} = p_{\text{м}}$ $m_{\text{к}} > m_{\text{м}}$ Знайти: $\dfrac{v_{\text{м}}}{v_{\text{к}}} - ?$	За означенням імпульсу тіла: $p = m \cdot v$ З умови рівності імпульсів кота і миші ( $p_{\text{к}} = p_{\text{м}}$ ) маємо: $m_{\text{к}} \cdot v_{\text{к}} = m_{\text{м}} \cdot v_{\text{м}}$ $\dfrac{v_{\text{м}}}{v_{\text{к}}} = \dfrac{m_{\text{к}}}{m_{\text{м}}}$

Оскільки маса кота значно більша за масу миші ( $m_{\text{к}} > m_{\text{м}}$ ), то $\dfrac{m_{\text{к}}}{m_{\text{м}}} > 1$ , а отже, і $\dfrac{v_{\text{м}}}{v_{\text{к}}} > 1$ , тобто $v_{\text{м}} > v_{\text{к}}$ . Швидкість миші більша за швидкість кота, тому кіт не зможе її наздогнати.

Відповідь: ні, не зможе.

Пояснення

Імпульс тіла дорівнює добутку його маси на швидкість: $p = m \cdot v$ .
При однакових імпульсах більшу швидкість має те тіло, маса якого менша. Оскільки миша легша за кота, вона біжить швидше, і кіт її не наздожене.

3. Два тіла рухаються вздовж однієї прямої. Маса першого тіла вдвічі більша за масу другого, а швидкість руху другого тіла втричі менша від швидкості руху першого.
1) Знайдіть відношення модулів імпульсів цих тіл.
2) Знайдіть сумарний імпульс цих тіл, якщо маса й швидкість руху першого тіла дорівнюють 200 г і 6 м/с відповідно. Розгляньте два випадки: а) тіла рухаються в одному напрямку; б) тіла рухаються в протилежних напрямках.

Дано:	Розв’язання:
$m_1 = 2m_2$ $v_1 = 3v_2$ $m_1 = 200\text{ г} = 0{,}2\text{ кг}$ $v_1 = 6\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ Знайти: 1) $\dfrac{p_1}{p_2} - ?$ 2) а) $p - ?$ б) $p - ?$	1) За формулою імпульсу $p_1 = m_1 \cdot v_1$ та $p_2 = m_2 \cdot v_2$ . Знайдемо відношення модулів імпульсів: $\dfrac{p_1}{p_2} = \dfrac{m_1 \cdot v_1}{m_2 \cdot v_2} = \dfrac{2m_2 \cdot 3v_2}{m_2 \cdot v_2} = 6$ 2) Оскільки $p_1 = 6p_2$ , то $p_2 = \dfrac{p_1}{6}$ . а) Якщо тіла рухаються в одному напрямку: $p = p_1 + p_2$ б) Якщо тіла рухаються в протилежних напрямках: $p = p_1 - p_2$

Дано:

Розв’язання:

m_1 = 2m_2

v_1 = 3v_2

m_1 = 200\text{ г} = 0{,}2\text{ кг}

v_1 = 6\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}

Знайти:
1)

\dfrac{p_1}{p_2} - ?

2) а)

p - ?

б)

p - ?

1) За формулою імпульсу

p_1 = m_1 \cdot v_1

та

p_2 = m_2 \cdot v_2

.
Знайдемо відношення модулів імпульсів:

\dfrac{p_1}{p_2} = \dfrac{m_1 \cdot v_1}{m_2 \cdot v_2} = \dfrac{2m_2 \cdot 3v_2}{m_2 \cdot v_2} = 6

2) Оскільки

p_1 = 6p_2

, то

p_2 = \dfrac{p_1}{6}

.
а) Якщо тіла рухаються в одному напрямку:

p = p_1 + p_2

б) Якщо тіла рухаються в протилежних напрямках:

p = p_1 - p_2

Обчислимо імпульси кожного з тіл:
$p_1 = 0{,}2\text{ кг} \cdot 6\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}} = 1{,}2\text{ кг}\cdot\text{м/с}$
$p_2 = \dfrac{1{,}2\text{ кг}\cdot\text{м/с}}{6} = 0{,}2\text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Знайдемо модуль сумарного імпульсу для обох випадків:
а) тіла рухаються в одному напрямку:
$p = 1{,}2\text{ кг}\cdot\text{м/с} + 0{,}2\text{ кг}\cdot\text{м/с} = 1{,}4\text{ кг}\cdot\text{м/с}$

б) тіла рухаються в протилежних напрямках:
$p = 1{,}2\text{ кг}\cdot\text{м/с} - 0{,}2\text{ кг}\cdot\text{м/с} = 1\text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Відповідь: 1) $\dfrac{p_1}{p_2} = 6$ ; 2) а) $p = 1{,}4\text{ кг}\cdot\text{м/с}$ ; б) $p = 1\text{ кг}\cdot\text{м/с}$ .

Пояснення

Підставивши співвідношення мас ( $m_1 = 2m_2$ ) і швидкостей ( $v_1 = 3v_2$ ) у відношення імпульсів, отримуємо, що імпульс першого тіла в 6 разів більший за імпульс другого.
Знаходимо імпульс першого тіла ( $1{,}2\text{ кг}\cdot\text{м/с}$ ) та ділимо його на 6, отримуючи імпульс другого тіла ( $0{,}2\text{ кг}\cdot\text{м/с}$ ).
При русі в один бік імпульси додаються, а при русі назустріч — віднімаються.

4. Кулька масою 100 г влучає в нерухому кульку масою 150 г і застрягає в ній (рис. 1). Визначте швидкість руху кульки до зіткнення, якщо після зіткнення система рухалася зі швидкістю 10 м/с.

Дано:	Розв’язання:
$m_1 = 100\text{ г} = 0{,}1\text{ кг}$ $m_2 = 150\text{ г} = 0{,}15\text{ кг}$ $v_{02} = 0$ $v = 10\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ Знайти: $v_{01} - ?$	Спрямуємо вісь $OX$ у напрямку руху першої кульки. За законом збереження імпульсу: $m_1 \cdot v_{01} + m_2 \cdot v_{02} = (m_1 + m_2) \cdot v$ Оскільки $v_{02} = 0$ , то: $m_1 \cdot v_{01} = (m_1 + m_2) \cdot v$ $v_{01} = \dfrac{(m_1 + m_2) \cdot v}{m_1}$

Обчислимо початкову швидкість першої кульки:
$v_{01} = \dfrac{(0{,}1\text{ кг} + 0{,}15\text{ кг}) \cdot 10\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}}{0{,}1\text{ кг}} = \dfrac{0{,}25\text{ кг} \cdot 10\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}}{0{,}1\text{ кг}} = 25\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$

Відповідь: $v_{01} = 25\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ .

Пояснення

До зіткнення імпульс мала лише перша кулька ( $m_1 \cdot v_{01}$ ), оскільки друга була нерухомою.
Після непружного зіткнення обидві кульки рухаються як одне ціле масою $m_1 + m_2$ зі спільною швидкістю v.
Прирівнявши імпульс системи до і після взаємодії, знаходимо початкову швидкість першої кульки: $25\text{ м/с}$ .

5. Зі старовинної гармати, установленої на рівній горизонтальній поверхні, горизонтально випущено ядро зі швидкістю 400 м/с. Якої швидкості набуде гармата після пострілу, якщо маса ядра 20 кг, а маса гармати 2 т?

Дано:	Розв’язання:
$v_{01} = v_{02} = 0$ $v_1 = 400\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ $m_1 = 20\text{ кг}$ $m_2 = 2\text{ т} = 2000\text{ кг}$ Знайти: $v_2 - ?$	До пострілу ядро і гармата перебували у стані спокою, тому сумарний початковий імпульс системи дорівнював нулю. Після пострілу гармата відкочується у бік, протилежний рухові ядра. За законом збереження імпульсу в проєкції на напрямок польоту ядра: $0 = m_1 \cdot v_1 - m_2 \cdot v_2$ $m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot v_1$ $v_2 = \dfrac{m_1 \cdot v_1}{m_2}$

Дано:

Розв’язання:

v_{01} = v_{02} = 0

v_1 = 400\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}

m_1 = 20\text{ кг}

m_2 = 2\text{ т} = 2000\text{ кг}

Знайти:

v_2 - ?

До пострілу ядро і гармата перебували у стані спокою, тому сумарний початковий імпульс системи дорівнював нулю. Після пострілу гармата відкочується у бік, протилежний рухові ядра.

За законом збереження імпульсу в проєкції на напрямок польоту ядра:

0 = m_1 \cdot v_1 - m_2 \cdot v_2

m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot v_1

v_2 = \dfrac{m_1 \cdot v_1}{m_2}

Обчислимо швидкість віддачі гармати після пострілу:
$v_2 = \dfrac{20\text{ кг} \cdot 400\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}}{2000\text{ кг}} = 4\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$

Відповідь: $v_2 = 4\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ .

Пояснення

До пострілу система «гармата — ядро» була нерухомою, тому її сумарний імпульс дорівнював нулю.
За законом збереження імпульсу після пострілу модуль імпульсу гармати дорівнює модулю імпульсу випущеного ядра: $m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot v_1$ .
Оскільки маса гармати у 100 разів більша за масу ядра, її швидкість буде у 100 разів меншою, тобто $4\text{ м/с}$ .

6. Складіть і розв’яжіть задачу за поданими на рис. 2 даними.

Умова задачі: Куля масою $10\text{ кг}$ , що рухається горизонтально зі швидкістю $20\text{ м/с}$ , наздоганяє другу кулю масою $8\text{ кг}$ , яка рухається в тому самому напрямку зі швидкістю $5\text{ м/с}$ . Після зіткнення перша куля продовжила рух у тому самому напрямку зі швидкістю $10\text{ м/с}$ . Визначте швидкість руху другої кулі після зіткнення.

Дано:	Розв’язання:
$m_1 = 10\text{ кг}$ $v_{01} = 20\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ $m_2 = 8\text{ кг}$ $v_{02} = 5\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ $v_1 = 10\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ Знайти: $v_2 - ?$	Обидві кулі до та після зіткнення рухаються в одному напрямку вздовж осі $OX$ . За законом збереження імпульсу: $m_1 \cdot v_{01} + m_2 \cdot v_{02} = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2$ Виразимо шукану швидкість $v_2$ : $m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot v_{01} + m_2 \cdot v_{02} - m_1 \cdot v_1$ $v_2 = \dfrac{m_1(v_{01} - v_1) + m_2 v_{02}}{m_2}$

Дано:

Розв’язання:

m_1 = 10\text{ кг}

v_{01} = 20\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}

m_2 = 8\text{ кг}

v_{02} = 5\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}

v_1 = 10\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}

Знайти:

v_2 - ?

Обидві кулі до та після зіткнення рухаються в одному напрямку вздовж осі

OX

.
За законом збереження імпульсу:

m_1 \cdot v_{01} + m_2 \cdot v_{02} = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2

Виразимо шукану швидкість

v_2

m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot v_{01} + m_2 \cdot v_{02} - m_1 \cdot v_1

v_2 = \dfrac{m_1(v_{01} - v_1) + m_2 v_{02}}{m_2}

Обчислимо швидкість другої кулі після зіткнення:
$v_2 = \dfrac{10\text{ кг} \cdot \left(20\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}} - 10\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}\right) + 8\text{ кг} \cdot 5\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}}{8\text{ кг}} = \dfrac{100\text{ кг}\cdot\text{м/с} + 40\text{ кг}\cdot\text{м/с}}{8\text{ кг}} = \dfrac{140\text{ кг}\cdot\text{м/с}}{8\text{ кг}} = 17{,}5\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$

Відповідь: $v_2 = 17{,}5\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ .

Пояснення

Оскільки обидва тіла рухаються в одному напрямку, їхні імпульси мають однаковий знак «+».
Під час удару перша куля передала частину свого імпульсу другій кулі, тому швидкість першої кулі зменшилася до $10\text{ м/с}$ , а другої — зросла з $5\text{ м/с}$ до $17{,}5\text{ м/с}$ .

7. Із човна масою 200 кг, що рухається зі швидкістю 2 м/с, стрибає хлопчик масою 50 кг зі швидкістю 6 м/с відносно поверхні землі. Визначте швидкість руху човна після стрибка, якщо хлопчик стрибає: а) з корми човна горизонтально в бік, протилежний рухові човна; б) з носа човна горизонтально в напрямку руху човна. Якою має бути швидкість руху хлопчика, щоб після стрибка з носа човен зупинився?

Дано:	Розв’язання:
$m_2 = 200\text{ кг}$ $v_0 = 2\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ $m_1 = 50\text{ кг}$ $v_1 = 6\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ Знайти: а) $v_2 - ?$ б) $v_2 - ?$ $v'_1 - ?$ (якщо $v'_2 = 0$ )	Спрямуємо вісь $OX$ у напрямку початкового руху човна. а) Хлопчик стрибає з корми проти напрямку руху човна. За законом збереження імпульсу: $(m_1 + m_2) \cdot v_0 = -m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2$ $v_2 = \dfrac{(m_1 + m_2)v_0 + m_1 v_1}{m_2}$ б) Хлопчик стрибає з носа в напрямку руху човна: $(m_1 + m_2) \cdot v_0 = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2$ $v_2 = \dfrac{(m_1 + m_2)v_0 - m_1 v_1}{m_2}$ Якщо після стрибка з носа човен зупинився ( $v'_2 = 0$ ): $(m_1 + m_2) \cdot v_0 = m_1 \cdot v'_1$ $v'_1 = \dfrac{(m_1 + m_2)v_0}{m_1}$

Дано:

Розв’язання:

m_2 = 200\text{ кг}

v_0 = 2\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}

m_1 = 50\text{ кг}

v_1 = 6\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}

Знайти:
а)

v_2 - ?

б)

v_2 - ?

v'_1 - ?

(якщо

v'_2 = 0

)

Спрямуємо вісь

OX

у напрямку початкового руху човна.

а) Хлопчик стрибає з корми проти напрямку руху човна. За законом збереження імпульсу:

(m_1 + m_2) \cdot v_0 = -m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2

v_2 = \dfrac{(m_1 + m_2)v_0 + m_1 v_1}{m_2}

б) Хлопчик стрибає з носа в напрямку руху човна:

(m_1 + m_2) \cdot v_0 = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2

v_2 = \dfrac{(m_1 + m_2)v_0 - m_1 v_1}{m_2}

Якщо після стрибка з носа човен зупинився (

v'_2 = 0

(m_1 + m_2) \cdot v_0 = m_1 \cdot v'_1

v'_1 = \dfrac{(m_1 + m_2)v_0}{m_1}

Проведемо обчислення для кожного випадку:
а) стрибок із корми проти руху човна:
$v_2 = \dfrac{(50\text{ кг} + 200\text{ кг}) \cdot 2\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}} + 50\text{ кг} \cdot 6\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}}{200\text{ кг}} = \dfrac{500\text{ кг}\cdot\text{м/с} + 300\text{ кг}\cdot\text{м/с}}{200\text{ кг}} = 4\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$

б) стрибок із носа за рухом човна:
$v_2 = \dfrac{(50\text{ кг} + 200\text{ кг}) \cdot 2\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}} - 50\text{ кг} \cdot 6\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}}{200\text{ кг}} = \dfrac{500\text{ кг}\cdot\text{м/с} - 300\text{ кг}\cdot\text{м/с}}{200\text{ кг}} = 1\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$

Швидкість хлопчика, за якої човен зупиниться після стрибка з носа:
$v'_1 = \dfrac{(50\text{ кг} + 200\text{ кг}) \cdot 2\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}}{50\text{ кг}} = \dfrac{500\text{ кг}\cdot\text{м/с}}{50\text{ кг}} = 10\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$

Відповідь: а) $v_2 = 4\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ ; б) $v_2 = 1\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ ; $v'_1 = 10\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ .

Пояснення

До стрибка човен і хлопчик рухалися разом зі швидкістю $2\text{ м/с}$ , тому початковий імпульс системи дорівнював $(50 + 200) \cdot 2 = 500\text{ кг}\cdot\text{м/с}$ .
Коли хлопчик стрибає назад, він відштовхує човен уперед, і швидкість човна зростає до $4\text{ м/с}$ .
Коли хлопчик стрибає вперед, він відштовхує човен назад, тому човен сповільнюється до $1\text{ м/с}$ . Щоб човен повністю зупинився, хлопчик має забрати весь початковий імпульс системи ( $500\text{ кг}\cdot\text{м/с}$ ), для чого повинен стрибнути зі швидкістю $10\text{ м/с}$ .