§13. Рух Землі і Місяця

Зміст ГДЗ 7 клас Бар’яхтар

З яким явищем, на вашу думку, пов’язана одиниця часу «місяць»?

З обертанням Місяця навколо Землі та повним циклом зміни місячних фаз (від одного нового Місяця до наступного), який триває приблизно 29 діб.

А ЯК НАСПРАВДІ?

На офіційному сайті «Flyer» немає інформації саме про період обертання, але подано діаметр колеса (150 м) і лінійну швидкість його руху (0,24 м/с). Який насправді період обертання колеса «Flyer»?

За формулою швидкості рівномірного руху по колу $v = \dfrac{2\pi R}{T} = \dfrac{\pi d}{T}$ виразимо період обертання:
$T = \dfrac{\pi d}{v} = \dfrac{3{,}14 \cdot 150\text{ м}}{0{,}24\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}} = 1962{,}5\text{ с} \approx 32{,}7\text{ хв}$
Жодне з трьох тверджень в інтернеті ( $14{,}4\text{ хв}$ , $28\text{ хв}$ або $37\text{ хв}$ ) не є точним, хоча значення $37\text{ хв}$ є найближчим до реального.

ДОСЛІДЖЕННЯ

Проведіть систематичні спостереження повного циклу зміни фаз Місяця, розпочавши з будь-якої фази. Чи мали рацію вавилонські жерці, які поділили повний цикл фаз Місяця саме на чотири частини?

Вавилонські жерці мали рацію, оскільки під час обертання Місяця навколо Землі (повний цикл триває близько 29 діб) чітко виділяються чотири основні фази, які легко розрізнити візуально на небі приблизно кожні 7 діб: новий Місяць, перша чверть (видно праву половину диска), повня (видно весь диск) та остання чверть (видно ліву половину диска).

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Якою є траєкторія руху Землі навколо Сонця? Місяця навколо Землі?

Орбіти (траєкторії руху) Землі навколо Сонця та Місяця навколо Землі за формою майже збігаються з колом (точніше — вони рухаються еліптичними орбітами).

2. З якими природними явищами пов’язані такі одиниці часу: рік, місяць, тиждень, доба?

Рік — період обертання Землі навколо Сонця (приблизно 365 діб і 6 годин).
Місяць — час повного циклу зміни фаз Місяця під час його обертання навколо Землі (місячний місяць становить близько 29 діб, а календарний триває від 28 до 31 доби).
Тиждень — інтервал часу (7 діб), отриманий поділом місячного місяця на чотири частини за кількістю основних фаз Місяця.
Доба — час між послідовними сходами Сонця на Землі, тобто період обертання Землі навколо власної осі (24 години).

3. Яка причина появи високосного року?

Період обертання Землі навколо Сонця становить 365 діб і 6 годин. Оскільки зручніше користуватися цілими числами, три роки поспіль вважають рівними 365 добам, а за чотири роки із «зайвих» 6 годин накопичується додаткова доба ( $6\text{ год} \cdot 4 = 24\text{ год}$ ), яку додають до четвертого (високосного) року ( $365 + 1 = 366\text{ діб}$ ).

4. Чому ми ніколи не бачимо зворотний бік Місяця?

Період обертання Місяця навколо Землі та період його обертання навколо власної осі збігаються (становлять приблизно $27{,}3\text{ доби}$ ), тому Місяць завжди звернений до земного спостерігача тим самим боком.

5. З якою швидкістю Земля обертається навколо Сонця?

Земля обертається навколо Сонця зі швидкістю приблизно $30\text{ км/с}$ .

ВПРАВА № 13

1. Визначте, скільки обертів здійснює Земля навколо своєї осі протягом тижня.

Дано:	Розв’язання:
$t = 1\text{ тиждень} = 7\text{ діб}$ $T = 1\text{ доба}$ Знайти: $N - ?$	За означенням періоду обертання: $T = \dfrac{t}{N} \implies N = \dfrac{t}{T}$

Обчислимо кількість обертів:
$N = \dfrac{7\text{ діб}}{1\text{ доба}} = 7$

Відповідь: $N = 7$ .

Пояснення

Один тиждень становить $7\text{ діб}$ , а період обертання Землі навколо власної осі дорівнює $1\text{ добі}$ .
Поділивши загальний час $t$ на період одного оберту $T$ , отримуємо 7 обертів.

2. Визначте в годинах час, за який Земля здійснить 2 оберти: а) навколо своєї осі; б) навколо Сонця.

Дано:	Розв’язання:
$N = 2$ $T_1 = 24\text{ год}$ $T_2 \approx 365\text{ діб} = 8760\text{ год}$ Знайти: $t_1 - ?$ $t_2 - ?$	За формулою періоду обертання: $T = \dfrac{t}{N} \implies t = T \cdot N$

Обчислимо шуканий час для обох випадків:
а) $t_1 = T_1 \cdot N = 24\text{ год} \cdot 2 = 48\text{ год}$
б) $t_2 = T_2 \cdot N \approx 365 \cdot 24\text{ год} \cdot 2 = 17\,520\text{ год}$ (або з урахуванням $6\text{ год}$ щороку: $t_2 = (365 \cdot 24\text{ год} + 6\text{ год}) \cdot 2 = 8766\text{ год} \cdot 2 = 17\,532\text{ год}$ ).

Відповідь: а) $48\text{ год}$ ; б) $\approx 17\,520\text{ год}$ .

Пояснення

Період одного оберту Землі навколо своєї осі становить $24\text{ год}$ , тому два оберти триватимуть $48\text{ год}$ .
Тривалість звичайного року становить $365\text{ діб}$ , що у годинах дорівнює $365 \cdot 24\text{ год} = 8760\text{ год}$ . Тоді за 2 оберти навколо Сонця мине приблизно $17\,520\text{ год}$ .

3. Подайте в одиницях СІ: 1 доба; 1 тиждень; 1 рік.

У системі СІ основною одиницею часу є секунда ( $\text{с}$ ):

$1\text{ доба} = 24\text{ год} = 24 \cdot 60\text{ хв} = 24 \cdot 3600\text{ с} = 86\,400\text{ с}$ ;
$1\text{ тиждень} = 7\text{ діб} = 7 \cdot 86\,400\text{ с} = 604\,800\text{ с}$ ;
$1\text{ рік (365 діб)} = 365 \cdot 86\,400\text{ с} = 31\,536\,000\text{ с}$ .

Відповідь: $86\,400\text{ с}$ ; $604\,800\text{ с}$ ; $31\,536\,000\text{ с}$ .

4. Визначте приблизну кількість обертів Місяця навколо Землі за той час, за який Земля здійснює 28 обертів навколо своєї осі.

Дано:	Розв’язання:
$N_1 = 28$ $T_1 = 1\text{ доба}$ $T_2 = 27{,}3\text{ доби}$ Знайти: $N_2 - ?$	Час, за який Земля здійснює $N_1$ обертів навколо своєї осі: $t = T_1 \cdot N_1$ Кількість обертів Місяця за цей самий час: $N_2 = \dfrac{t}{T_2} = \dfrac{T_1 \cdot N_1}{T_2}$

Обчислимо приблизну кількість обертів Місяця:
$N_2 = \dfrac{1\text{ доба} \cdot 28}{27{,}3\text{ доби}} \approx 1$

Відповідь: $\approx 1$ .

Пояснення

За 28 обертів Землі навколо власної осі минає $28\text{ діб}$ .
Оскільки період обертання Місяця навколо Землі становить $27{,}3\text{ доби}$ , за $28\text{ діб}$ Місяць здійснює приблизно 1 повний оберт.

5. Визначте швидкість руху Місяця навколо Землі. Вважайте, що Місяць рухається коловою орбітою радіусом 390 000 км, а період обертання Місяця навколо Землі — 27,3 доби.

Дано:	Розв’язання:
$R = 390\,000\text{ км}$ $T = 27{,}3\text{ доби} = 2\,358\,720\text{ с}$ Знайти: $v - ?$	Швидкість рівномірного руху Місяця коловою орбітою визначається за формулою: $v = \dfrac{2\pi R}{T}$

Обчислимо швидкість руху Місяця:
$v = \dfrac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 390\,000\text{ км}}{2\,358\,720\text{ с}} \approx 1{,}04\,\dfrac{\text{км}}{\text{с}} \approx 1\,\dfrac{\text{км}}{\text{с}}$

Відповідь: $\approx 1\text{ км/с}$ .

Пояснення

Переводимо період обертання Місяця в секунди: $T = 27{,}3 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60\text{ с} = 2\,358\,720\text{ с}$ .
Довжина орбіти Місяця становить $l = 2\pi R$ . Поділивши її на період обертання $T$ , отримуємо швидкість руху Місяця $\approx 1\text{ км/с}$ .

6. Частота обертання дриля під час шліфування становить 3600 об/хв. З якою максимальною швидкістю рухаються точки шліфувальної насадки діаметром 50 мм? Порівняйте цю швидкість зі швидкістю обертання Місяця навколо Землі, а також із дозволеною в місті швидкістю руху автомобіля.

Дано:	Розв’язання:
$n = 3600\,\dfrac{\text{об}}{\text{хв}} = 60\,\dfrac{\text{об}}{\text{с}}$ $d = 50\text{ мм} = 0{,}05\text{ м}$ $v_{\text{М}} \approx 1000\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ $v_{\text{а}} = 50\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}} \approx 13{,}9\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ Знайти: $v - ?$	Максимальну швидкість мають крайні точки насадки ( $R = \dfrac{d}{2}$ ). Оскільки $T = \dfrac{1}{n}$ , формула швидкості має вигляд: $v = \dfrac{2\pi R}{T} = 2\pi R \cdot n = \pi d \cdot n$

Обчислимо максимальну швидкість точок насадки:
$v = 3{,}14 \cdot 0{,}05\text{ м} \cdot 60\,\dfrac{\text{об}}{\text{с}} = 9{,}42\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}} \approx 9{,}4\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}\text{ (або }\approx 34\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}\text{)}$
Швидкість точок насадки ( $9{,}4\text{ м/с}$ ) є меншою за дозволену в місті швидкість автомобіля ( $50\text{ км/год} \approx 13{,}9\text{ м/с}$ ) і більш ніж у 100 разів меншою за швидкість руху Місяця навколо Землі ( $1000\text{ м/с}$ ).

Відповідь: $\approx 9{,}4\text{ м/с}$ ; ця швидкість менша за дозволену швидкість автомобіля в місті та набагато менша за швидкість Місяця.

Пояснення

Переводимо частоту обертання в оберти за секунду: $n = \dfrac{3600\text{ об}}{60\text{ с}} = 60\text{ об/с}$ , а діаметр насадки — у метри: $d = 0{,}05\text{ м}$ .
За формулою $v = \pi d n$ знаходимо лінійну швидкість крайніх точок насадки: $v \approx 9{,}4\text{ м/с}$ .
Порівнюємо отримане значення зі швидкістю автомобіля в місті та орбітальною швидкістю Місяця.

7. Відстань від Юпітера (найбільшої планети Сонячної системи) до Сонця в 5,2 разу більша за відстань від Землі до Сонця, а тривалість року на Юпітері в 11,9 разу більша, ніж на Землі. Яка із зазначених планет рухається навколо Сонця з більшою швидкістю? У скільки разів більшою?

Дано:	Розв’язання:
$R_{\text{Ю}} = 5{,}2 R_{\text{З}}$ $T_{\text{Ю}} = 11{,}9 T_{\text{З}}$ Знайти: $\dfrac{v_{\text{З}}}{v_{\text{Ю}}} - ?$	Запишемо формули швидкостей руху Землі та Юпітера коловими орбітами: $v_{\text{З}} = \dfrac{2\pi R_{\text{З}}}{T_{\text{З}}}$ ; $\quad v_{\text{Ю}} = \dfrac{2\pi R_{\text{Ю}}}{T_{\text{Ю}}}$ Знайдемо відношення швидкостей: $\dfrac{v_{\text{З}}}{v_{\text{Ю}}} = \dfrac{2\pi R_{\text{З}}}{T_{\text{З}}} : \dfrac{2\pi R_{\text{Ю}}}{T_{\text{Ю}}} = \dfrac{R_{\text{З}} \cdot T_{\text{Ю}}}{T_{\text{З}} \cdot R_{\text{Ю}}}$

Дано:

Розв’язання:

R_{\text{Ю}} = 5{,}2 R_{\text{З}}

T_{\text{Ю}} = 11{,}9 T_{\text{З}}

Знайти:

\dfrac{v_{\text{З}}}{v_{\text{Ю}}} - ?

Запишемо формули швидкостей руху Землі та Юпітера коловими орбітами:

v_{\text{З}} = \dfrac{2\pi R_{\text{З}}}{T_{\text{З}}}

;

\quad v_{\text{Ю}} = \dfrac{2\pi R_{\text{Ю}}}{T_{\text{Ю}}}

Знайдемо відношення швидкостей:

\dfrac{v_{\text{З}}}{v_{\text{Ю}}} = \dfrac{2\pi R_{\text{З}}}{T_{\text{З}}} : \dfrac{2\pi R_{\text{Ю}}}{T_{\text{Ю}}} = \dfrac{R_{\text{З}} \cdot T_{\text{Ю}}}{T_{\text{З}} \cdot R_{\text{Ю}}}

Підставимо співвідношення радіусів і періодів з умови задачі:
$\dfrac{v_{\text{З}}}{v_{\text{Ю}}} = \dfrac{R_{\text{З}} \cdot 11{,}9 T_{\text{З}}}{T_{\text{З}} \cdot 5{,}2 R_{\text{З}}} = \dfrac{11{,}9}{5{,}2} \approx 2{,}3$

Відповідь: Земля, $\approx$ у $2{,}3$ разу.

Пояснення

Виражаємо орбітальні швидкості обох планет через радіуси їхніх орбіт і періоди обертання за формулою $v = \dfrac{2\pi R}{T}$ .
Ділимо вираз для швидкості Землі на вираз для швидкості Юпітера та підставляємо $R_{\text{Ю}} = 5{,}2 R_{\text{З}}$ і $T_{\text{Ю}} = 11{,}9 T_{\text{З}}$ .
Після скорочення однакових величин отримуємо $\dfrac{11{,}9}{5{,}2} \approx 2{,}3$ , отже, Земля рухається у $2{,}3$ разу швидше за Юпітер.

8. Порівняйте середні радіуси орбіт планет Венери, Землі, Марса, а також періоди їхнього обертання навколо Сонця. Визначте швидкості руху цих планет відносно Сонця. Підготуйте коротку презентацію.

За довідковими даними визначимо характеристики орбіт планет та обчислимо їхні орбітальні швидкості за формулою $v = \dfrac{2\pi R}{T}$ :

Венера: $v_{\text{В}} = \dfrac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 108{,}2 \cdot 10^6\text{ км}}{224{,}7 \cdot 86\,400\text{ с}} \approx 35{,}0\,\dfrac{\text{км}}{\text{с}}$
Земля: $v_{\text{З}} = \dfrac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 149{,}6 \cdot 10^6\text{ км}}{365{,}25 \cdot 86\,400\text{ с}} \approx 29{,}8\,\dfrac{\text{км}}{\text{с}}$
Марс: $v_{\text{М}} = \dfrac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 227{,}9 \cdot 10^6\text{ км}}{687 \cdot 86\,400\text{ с}} \approx 24{,}1\,\dfrac{\text{км}}{\text{с}}$

Планета	Середній радіус орбіти, $\text{млн км}$	Період обертання навколо Сонця, земні доби	Орбітальна швидкість руху, $\text{км/с}$
Венера	$108{,}2$	$224{,}7$	$35{,}0$
Земля	$149{,}6$	$365{,}25$	$29{,}8$
Марс	$227{,}9$	$687{,}0$	$24{,}1$

Чим далі планета розташована від Сонця, тим більшим є радіус її орбіти та період обертання (тривалість року), але тим меншою є лінійна швидкість її руху орбітою.