§12. Рівномірний рух матеріальної точки по колу

Зміст ГДЗ 7 клас Бар’яхтар

ПОМІРКУЙТЕ

Поміркуйте, які періоди обертання точок хвилинної та годинної стрілок годинника.

Період обертання точок хвилинної стрілки становить 1 годину ( $60\text{ хв}$ або $3600\text{ с}$ ).
Період обертання точок годинної стрілки становить 12 годин ( $720\text{ хв}$ або $43\,200\text{ с}$ ).

Сподіваємося, що ви без особливих зусиль зможете визначити обертову частоту точок ножа блендера (див. рис. 12.2).

За 1 хвилину ( $60\text{ с}$ ) точки ножа блендера роблять $12\,000$ обертів, тому обертова частота становить:
$n = \dfrac{N}{t} = \dfrac{12\,000}{60\text{ с}} = 200\,\dfrac{\text{об}}{\text{с}}$

ДОСЛІДЖЕННЯ

Розмістіть склянку з водою в НВЧ-печі, увімкніть піч під наглядом дорослих і визначте частоту й період обертання склянки. Рух якого тіла має приблизно такий самий період обертання?

За час $t = 60\text{ с}$ підставка зі склянкою в мікрохвильовій печі робить $N = 6$ повних обертів.
Період обертання: $T = \dfrac{t}{N} = \dfrac{60\text{ с}}{6} = 10\text{ с}$ .
Обертова частота: $n = \dfrac{N}{t} = \dfrac{6}{60\text{ с}} = 0{,}1\,\dfrac{\text{об}}{\text{с}}$ .
Приблизно такий самий період обертання ( $10\text{–}15\text{ с}$ ) має дитяча карусель на ігровому майданчику.

А ЯК НАСПРАВДІ?

Блогер розповів, що випадково разом зі штанами поправ брелок. Хлопець стверджував, що «шлях», який вимушено подолав брелок лише за 5 хв роботи центрифуги, приблизно дорівнює 6 км. Чи ймовірні дані навів блогер?

Дані блогера цілком імовірні. Типова частота обертання барабана пральної машини під час віджимання становить $n = 1200\text{ об/хв} = 20\text{ об/с}$ , а його радіус — близько $R = 0{,}16\text{ м}$ . За один оберт брелок долає шлях $l_1 = 2\pi R \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}16\text{ м} \approx 1\text{ м}$ . За 5 хвилин ( $300\text{ с}$ ) барабан зробить $N = 20\text{ об/с} \cdot 300\text{ с} = 6000$ обертів, тому загальний шлях брелока становитиме $l = 1\text{ м} \cdot 6000 = 6000\text{ м} = 6\text{ км}$ .

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Який рух називають рівномірним рухом по колу?

Такий криволінійний рух, під час якого точка, рухаючись коловою траєкторією, за будь-які рівні інтервали часу проходить однаковий шлях.

2. Чому рівномірний рух по колу є періодичним?

Тому що цей рух повторюється через певні рівні інтервали часу (після кожного повного оберту точка повертається у вихідне положення).

3. Дайте означення періоду обертання. Як його визначити?

Фізична величина, яка дорівнює часу, протягом якого точка, що рівномірно рухається по колу, здійснює один оберт. Щоб визначити період обертання $T$ , слід підрахувати кількість обертів $N$ , здійснених за час $t$ , і поділити час на кількість обертів: $T = \dfrac{t}{N}$ .

4. Дайте означення обертової частоти.

Фізична величина, яка дорівнює кількості обертів за одиницю часу: $n = \dfrac{N}{t}$ .

5. Як пов’язані обертова частота й період обертання?

Період обертання та обертова частота є взаємно оберненими величинами (чим більшим є період обертання тіла, тим меншою є його обертова частота, і навпаки):
$n = \dfrac{1}{T}; \quad T = \dfrac{1}{n}$

6. Як визначити швидкість рівномірного руху по колу?

Відношенням довжини кола до періоду обертання:
$v = \dfrac{2\pi R}{T}$
де $R$ — радіус кола, $\pi \approx 3{,}14$ .

ВПРАВА № 12

1. За 18 секунд колесо автомобіля здійснило 24 оберти. Визначте період обертання точки на ободі колеса.

Дано:	Розв’язання:
$t = 18\text{ с}$ $N = 24$ Знайти: $T - ?$	Період обертання точки на ободі колеса визначається за формулою: $T = \dfrac{t}{N}$

Обчислимо період обертання:
$T = \dfrac{18\text{ с}}{24} = \dfrac{3}{4}\text{ с} = 0{,}75\text{ с}$

Відповідь: $0{,}75\text{ с}$ .

Пояснення

Щоб знайти період обертання $T$ , ділимо загальний час обертання $t = 18\text{ с}$ на кількість здійснених обертів $N = 24$ .

2. Якою є обертова частота точок патрона електродриля, якщо протягом хвилини патрон здійснює 900 обертів?

Дано:	Розв’язання:
$t = 1\text{ хв} = 60\text{ с}$ $N = 900$ Знайти: $n - ?$	Обертова частота дорівнює відношенню кількості обертів до часу обертання: $n = \dfrac{N}{t}$

Обчислимо обертову частоту:
$n = \dfrac{900}{60\text{ с}} = 15\,\dfrac{\text{об}}{\text{с}}$

Відповідь: $15\text{ об/с}$ .

Пояснення

Переводимо час у секунди: $1\text{ хв} = 60\text{ с}$ .
Ділимо кількість обертів $N = 900$ на час $t = 60\text{ с}$ і отримуємо $15\text{ об/с}$ .

3. Особливості зору людини такі, що вона може ідентифікувати події як різні, якщо інтервал часу між ними більший за 0,2–0,3 с. З якою частотою потрібно рухати по колу «бенгальський вогонь», щоб побачити світне кільце?

Дано:	Розв’язання:
$T_1 = 0{,}2\text{ с}$ $T_2 = 0{,}3\text{ с}$ Знайти: $n_1 - ?$ $n_2 - ?$	Щоб побачити суцільне світне кільце, час одного оберту (період $T$ ) має не перевищувати $0{,}2\text{–}0{,}3\text{ с}$ . Оскільки обертова частота й період є взаємно оберненими величинами: $n_1 = \dfrac{1}{T_1}; \quad n_2 = \dfrac{1}{T_2}$

Обчислимо відповідні значення обертової частоти:
$n_1 = \dfrac{1}{0{,}2\text{ с}} = 5\,\dfrac{\text{об}}{\text{с}}$
$n_2 = \dfrac{1}{0{,}3\text{ с}} \approx 3{,}3\,\dfrac{\text{об}}{\text{с}}$

Відповідь: $5\text{ об/с}$ ; $3{,}3\text{ об/с}$ .

Пояснення

Щоб окремі положення вогника зливалися для ока в суцільне світне кільце, один повний оберт має тривати не довше ніж $0{,}2\text{–}0{,}3\text{ с}$ . За формулою $n = \dfrac{1}{T}$ знаходимо граничні значення частоти: $5\text{ об/с}$ та $3{,}3\text{ об/с}$ .

4. Відомо, що вентилятор мікропроцесора персонального комп’ютера обертається з частотою 3600 об/хв. Яким є період обертання точок лопатей вентилятора?

Дано:	Розв’язання:
$N = 3600$ $t = 1\text{ хв} = 60\text{ с}$ Знайти: $T - ?$	Визначимо обертову частоту в одиницях СІ та знайдемо період обертання: $n = \dfrac{N}{t}; \quad T = \dfrac{1}{n} = \dfrac{t}{N}$

Обчислимо період обертання:
$T = \dfrac{60\text{ с}}{3600} = \dfrac{1}{60}\text{ с} \approx 0{,}0167\text{ с} = 16{,}7\text{ мс}$

Відповідь: $\approx 16{,}7\text{ мс}$ .

Пояснення

Частота $3600\text{ об/хв}$ означає, що за $t = 60\text{ с}$ вентилятор робить $N = 3600$ обертів (тобто $n = 60\text{ об/с}$ ).
Ділимо час на кількість обертів: $T = \dfrac{60\text{ с}}{3600} \approx 0{,}0167\text{ с} = 16{,}7\text{ мс}$ .

5. Учень катався на каруселі 5 хв. За цей час він здійснив 100 обертів. У якому випадку можна стверджувати, що період обертання учня дорівнював 3 с?

За формулою періоду обертання для $t = 5\text{ хв} = 300\text{ с}$ та $N = 100$ маємо: $T = \dfrac{t}{N} = \dfrac{300\text{ с}}{100} = 3\text{ с}$ . Стверджувати, що період обертання дорівнював $3\text{ с}$ , можна лише у випадку, якщо рух каруселі впродовж усього часу був рівномірним (без прискорення на старті та сповільнення під час зупинки).

Відповідь: якщо рух рівномірний.

6. Яка швидкість руху кінчика крильчатки блендера під час приготування смузі (див. рис. 12.2)? Діаметр крильчатки 50 мм.

Дано:	Розв’язання:
$d = 50\text{ мм} = 0{,}05\text{ м}$ $t = 1\text{ хв} = 60\text{ с}$ $N = 12\,000$ Знайти: $v - ?$	Радіус кола, яким рухається кінчик крильчатки, дорівнює половині діаметра: $R = \dfrac{d}{2}$ . Період обертання: $T = \dfrac{t}{N}$ . Швидкість рівномірного руху по колу: $v = \dfrac{2\pi R}{T} = \dfrac{\pi d N}{t}$

Обчислимо радіус, період обертання та швидкість руху:
$R = \dfrac{0{,}05\text{ м}}{2} = 0{,}025\text{ м}$
$T = \dfrac{60\text{ с}}{12\,000} = 0{,}005\text{ с}$
$v = \dfrac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}025\text{ м}}{0{,}005\text{ с}} = 31{,}4\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$

Відповідь: $31{,}4\text{ м/с}$ .

Пояснення

Із рис. 12.2 відомо, що за $1\text{ хв}$ ( $60\text{ с}$ ) ніж блендера робить $12\,000$ обертів, тому період обертання становить $T = 0{,}005\text{ с}$ .
Радіус крильчатки дорівнює половині її діаметра: $R = 25\text{ мм} = 0{,}025\text{ м}$ .
Підставляємо значення у формулу $v = \dfrac{2\pi R}{T}$ і отримуємо $31{,}4\text{ м/с}$ .

7. Шестірні скріплені зубцями так, як показано на рисунку. Шестірня 1 має 9 зубців, шестірня 2 — 15, шестірня 3 — 8, шестірня 4 — 16. Шестірні 2 і 3 закріплені на спільному валу. Визначте період обертання шестірні 4, якщо частота обертання шестірні 1 — 5 об/с.

Дано:	Розв’язання:
$k_1 = 9$ $k_2 = 15$ $k_3 = 8$ $k_4 = 16$ $n_1 = 5\text{ об/с}$ Знайти: $T_4 - ?$	При зчепленні шестірень кількості їхніх обертів за одиницю часу (частоти) обернено пропорційні кількості зубців: $n_1 \cdot k_1 = n_2 \cdot k_2 \implies n_2 = n_1 \cdot \dfrac{k_1}{k_2}$ . Оскільки шестірні 2 і 3 закріплені на спільному валу, їхні обертові частоти однакові: $n_3 = n_2$ . Для зчеплених шестірень 3 і 4 маємо: $n_3 \cdot k_3 = n_4 \cdot k_4 \implies n_4 = n_3 \cdot \dfrac{k_3}{k_4}$ . Період обертання шестірні 4: $T_4 = \dfrac{1}{n_4}$

Дано:

Розв’язання:

k_1 = 9

k_2 = 15

k_3 = 8

k_4 = 16

n_1 = 5\text{ об/с}

Знайти:

T_4 - ?

При зчепленні шестірень кількості їхніх обертів за одиницю часу (частоти) обернено пропорційні кількості зубців:

n_1 \cdot k_1 = n_2 \cdot k_2 \implies n_2 = n_1 \cdot \dfrac{k_1}{k_2}

.
Оскільки шестірні 2 і 3 закріплені на спільному валу, їхні обертові частоти однакові:

n_3 = n_2

.
Для зчеплених шестірень 3 і 4 маємо:

n_3 \cdot k_3 = n_4 \cdot k_4 \implies n_4 = n_3 \cdot \dfrac{k_3}{k_4}

.
Період обертання шестірні 4:

T_4 = \dfrac{1}{n_4}

Обчислимо обертові частоти та період обертання шестірні 4:
$n_2 = 5\,\dfrac{\text{об}}{\text{с}} \cdot \dfrac{9}{15} = 3\,\dfrac{\text{об}}{\text{с}}$
$n_3 = n_2 = 3\,\dfrac{\text{об}}{\text{с}}$
$n_4 = 3\,\dfrac{\text{об}}{\text{с}} \cdot \dfrac{8}{16} = 1{,}5\,\dfrac{\text{об}}{\text{с}}$
$T_4 = \dfrac{1}{1{,}5\text{ об/с}} = \dfrac{2}{3}\text{ с} \approx 0{,}67\text{ с}$

Відповідь: $\approx 0{,}67\text{ с}$ .

Пояснення

За $1\text{ с}$ перша шестірня робить 5 обертів і прокручує $5 \cdot 9 = 45$ зубців.
Друга шестірня має 15 зубців, тому за $1\text{ с}$ вона зробить $\dfrac{45}{15} = 3$ оберти.
Третя шестірня сидить на одному валу з другою, отже, теж робить 3 оберти за секунду і прокручує $3 \cdot 8 = 24$ зубці.
Четверта шестірня має 16 зубців, тому за $1\text{ с}$ вона робить $n_4 = \dfrac{24}{16} = 1{,}5$ оберту, а її період становить $T_4 = \dfrac{1\text{ с}}{1{,}5} \approx 0{,}67\text{ с}$ .

8. Знайдіть три цікаві факти про колесо. Критично проаналізуйте отриману інформацію, внесіть відповідні корективи та запишіть короткий (до 1 хв) відеоролик на зазначену тему.

Три цікаві факти про колесо для сценарію відеоролика:

Перші колеса створили не для транспорту: найдавніші відомі колеса використовували як гончарні круги в Месопотамії приблизно 5500 років тому, і лише через кілька століть їх почали встановлювати на вози.
Найстаріше знайдене дерев’яне колесо у світі — Люблянське болотне колесо (Словенія), вік якого становить понад 5100 років, а в Україні поблизу села Старосілля на Черкащині знайдено унікальний дерев’яний віз віком близько 4000 років.
Винахід колеса зі спицями близько 2000 року до н. е. дозволив значно зменшити масу колісниць і суттєво збільшити швидкість пересування порівняно з важкими суцільними дерев’яними дисками.

Відео для прикладу: