§11. Нерівномірний рух. Середня швидкість

Зміст ГДЗ 7 клас Бар’яхтар

Спробуйте навести приклади нерівномірного руху.

Рух автобуса, який час від часу гальмує, зупиняється і знову розганяється.
Рух тіл, що вільно падають на землю.
Рух спортсменів на біговій доріжці.
Рух м’яча, що котиться по траві.

Запишіть у зошиті декілька словосполучень, що описують рухи, які ви робите вранці. Схарактеризуйте ці рухи. Які вони: прямолінійні чи криволінійні, рівномірні чи нерівномірні? Відносно яких тіл ви розглядаєте ці рухи (яке тіло обираєте за тіло відліку)?

Підняв руку до будильника — криволінійний нерівномірний рух відносно ліжка.
Чищу зуби щіткою — криволінійний нерівномірний рух відносно дзеркала у ванній.
Спускаюся в ліфті на перший поверх — прямолінійний нерівномірний (на початку і в кінці) та рівномірний (між поверхами) рух відносно стін будинку.
Йду тротуаром до школи — криволінійний нерівномірний рух відносно дерев і будинків.

ДОСЛІДЖЕННЯ

Виходячи зі школи, прокладіть у додатку маршрут, яким ви будете рухатися додому (це може бути: пішки + автобус, пішки + автомобіль, тільки пішки тощо). Дізнайтеся, яку відстань вам потрібно подолати, та виміряйте час, який ви на це витратите. Визначте середню швидкість вашого руху за отриманими даними. Чи можете ви за цими даними встановити характер і швидкість вашого руху в кожний момент часу?

Нехай відстань від школи додому становить $l = 1200\text{ м}$ , а час руху пішки — $t = 15\text{ хв} = 900\text{ с}$ . Тоді середня швидкість руху:
$v_{\text{сер}} = \dfrac{l}{t} = \dfrac{1200\text{ м}}{900\text{ с}} \approx 1{,}33\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$
Ні, за даними про загальний шлях і час неможливо встановити характер руху та швидкість у кожний момент часу, оскільки середня швидкість характеризує лише весь рух загалом без урахування зупинок і прискорень.

А ЯК НАСПРАВДІ?

«Першу половину шляху автомобіль рухався зі швидкістю 10 м/с, а другу половину шляху мчав зі швидкістю 40 м/с. Чому дорівнює середня швидкість руху автомобіля на всьому шляху?» Поміркуйте, звідки взялася така відповідь (16 м/с).

Автомобіль долав першу половину шляху з меншою швидкістю, тому витратив на неї в 4 рази більше часу, ніж на другу половину. Позначимо кожну половину шляху як x (тоді весь шлях $l = 2x$ ). Час на першій половині: $t_1 = \dfrac{x}{10\,\text{м/с}}$ , на другій: $t_2 = \dfrac{x}{40\,\text{м/с}}$ . Середня швидкість:
$v_{\text{сер}} = \dfrac{2x}{\dfrac{x}{10\,\text{м/с}} + \dfrac{x}{40\,\text{м/с}}} = \dfrac{2x}{\dfrac{5x}{40\,\text{м/с}}} = \dfrac{80}{5}\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}} = 16\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Який рух називають нерівномірним? Наведіть приклади.

Нерівномірний рух — це рух, під час якого тіло за рівні інтервали часу долає різний шлях. Приклади: рух автобуса між зупинками, падіння яблука з дерева, біг спортсмена на дистанції, кочення м’яча по землі.

2. Назвіть види механічного руху. Наведіть приклади.

За формою траєкторії: прямолінійний (рух потяга на прямій ділянці колії) та криволінійний (рух кабінки колеса огляду, рух дитини на гойдалці).
За характером руху тіла: рівномірний (рух ескалатора в метро) та нерівномірний (розгін автомобіля або гальмування велосипедиста).

3. Дайте означення середньої швидкості руху тіла. Як її знайти?

Середня швидкість руху тіла ( $v_{\text{сер}}$ ) — це фізична величина, що дорівнює відношенню всього шляху l, який подолало тіло, до інтервалу часу $t$ , за який цей шлях подолано:
$v_{\text{сер}} = \dfrac{l}{t}$

4. Як за графіком швидкості руху тіла знайти шлях, який подолало тіло за певний інтервал часу?

Числове значення шляху, який подолало тіло за певний інтервал часу, дорівнює числовому значенню площі геометричної фігури (наприклад, трикутника чи прямокутника) під графіком швидкості руху тіла за цей час.

ВПРАВА № 11

1. Наведіть приклади: а) прямолінійного рівномірного руху; б) прямолінійного нерівномірного руху; в) криволінійного рівномірного руху; г) криволінійного нерівномірного руху.

а) Прямолінійний рівномірний рух: рух автомобіля прямою дорогою зі сталою швидкістю, рух сходинок ескалатора.
б) Прямолінійний нерівномірний рух: розгін спортсмена на стометрівці, вільне падіння каменя вертикально вниз.
в) Криволінійний рівномірний рух: рух кінчика секундної стрілки годинника, рух кабінки колеса огляду.
г) Криволінійний нерівномірний рух: рух ковзаняра на повороті льодової арени, рух футболіста під час гри.

2. Хлопчик вийшов зі школи та пішов додому. Перший кілометр шляху він подолав за 0,5 год, а решту 5 км його підвіз тато, витративши на це 0,1 год. Знайдіть середню швидкість руху хлопчика на всьому шляху від школи додому.

Дано:	Розв’язання:
$l_1 = 1\text{ км}$ $t_1 = 0{,}5\text{ год}$ $l_2 = 5\text{ км}$ $t_2 = 0{,}1\text{ год}$ Знайти: $v_{\text{сер}} - ?$	Середня швидкість руху тіла дорівнює відношенню всього шляху до всього часу руху: $v_{\text{сер}} = \dfrac{l}{t} = \dfrac{l_1 + l_2}{t_1 + t_2}$

Обчислимо середню швидкість:
$v_{\text{сер}} = \dfrac{1\text{ км} + 5\text{ км}}{0{,}5\text{ год} + 0{,}1\text{ год}} = \dfrac{6\text{ км}}{0{,}6\text{ год}} = 10\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}$

Відповідь: $v_{\text{сер}} = 10\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}$ (Примітка: у відповідях підручника на с. 265 зазначено $20\text{ км/год}$ через описку авторів, якщо брати $t_1 = 0{,}2\text{ год}$ ).

Пояснення

Знаходимо весь пройдений шлях: $l = 1\text{ км} + 5\text{ км} = 6\text{ км}$ .
Знаходимо весь час, витрачений на дорогу: $t = 0{,}5\text{ год} + 0{,}1\text{ год} = 0{,}6\text{ год}$ .
Ділимо весь шлях на весь час і отримуємо середню швидкість $10\text{ км/год}$ .

3. Потяг за 1 год пройшов 60 км. Потім він рухався ще 30 хв зі швидкістю 90 км/год. Яка середня швидкість руху потяга?

Дано:	Розв’язання:
$t_1 = 1\text{ год}$ $l_1 = 60\text{ км}$ $t_2 = 30\text{ хв} = 0{,}5\text{ год}$ $v_2 = 90\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}$ Знайти: $v_{\text{сер}} - ?$	За означенням середньої швидкості: $v_{\text{сер}} = \dfrac{l_1 + l_2}{t_1 + t_2}$ Шлях на другій ділянці: $l_2 = v_2 \cdot t_2$

Обчислимо шлях на другій ділянці та середню швидкість руху потяга:
$l_2 = 90\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}} \cdot 0{,}5\text{ год} = 45\text{ км}$
$v_{\text{сер}} = \dfrac{60\text{ км} + 45\text{ км}}{1\text{ год} + 0{,}5\text{ год}} = \dfrac{105\text{ км}}{1{,}5\text{ год}} = 70\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}$

Відповідь: $v_{\text{сер}} = 70\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}$ .

Пояснення

Переводимо час руху на другій ділянці в години: $30\text{ хв} = 0{,}5\text{ год}$ .
Знаходимо шлях $l_2$ , який потяг пройшов за ці пів години зі швидкістю $90\text{ км/год}$ : $45\text{ км}$ .
Ділимо загальний шлях ( $105\text{ км}$ ) на загальний час руху ( $1{,}5\text{ год}$ ).

4. Підіймаючись на гору, турист подолав шлях 3 км за 1 год. Спускався він з гори тією самою стежкою. Скільки часу витратив турист на спуск, якщо середня швидкість його руху на всьому шляху становила 1 м/с?

Дано:	Розв’язання:
$l_1 = l_2 = 3\text{ км} = 3000\text{ м}$ $t_1 = 1\text{ год} = 3600\text{ с}$ $v_{\text{сер}} = 1\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ Знайти: $t_2 - ?$	Загальний шлях (підйом і спуск): $l = l_1 + l_2$ Загальний час руху: $t = \dfrac{l}{v_{\text{сер}}} \implies t_2 = t - t_1$

Обчислимо загальний шлях, повний час руху та час спуску:
$l = 3000\text{ м} + 3000\text{ м} = 6000\text{ м}$
$t = \dfrac{6000\text{ м}}{1\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}} = 6000\text{ с} = 100\text{ хв}$
$t_2 = 100\text{ хв} - 60\text{ хв} = 40\text{ хв}$

Відповідь: $t_2 = 40\text{ хв}$ .

Пояснення

Оскільки турист спускався тією самою стежкою, шлях спуску дорівнює шляху підйому ( $3000\text{ м}$ ), а весь шлях становить $6000\text{ м}$ .
Ділимо весь шлях на середню швидкість і знаходимо весь час подорожі: $6000\text{ с} = 100\text{ хв}$ .
Віднімаємо час підйому ( $1\text{ год} = 60\text{ хв}$ ) і отримуємо час спуску $40\text{ хв}$ .

5. Першу половину часу польоту літак рухався зі швидкістю 600 км/год, а решту часу — зі швидкістю 800 км/год. Знайдіть середню швидкість руху літака.

Дано:	Розв’язання:
$t_1 = t_2$ $v_1 = 600\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}$ $v_2 = 800\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}$ Знайти: $v_{\text{сер}} - ?$	Формула середньої швидкості: $v_{\text{сер}} = \dfrac{l_1 + l_2}{t_1 + t_2}$ Оскільки $t_1 = t_2$ , а $l_1 = v_1 \cdot t_1$ і $l_2 = v_2 \cdot t_1$ , маємо: $v_{\text{сер}} = \dfrac{v_1 \cdot t_1 + v_2 \cdot t_1}{2t_1} = \dfrac{(v_1 + v_2) \cdot t_1}{2t_1} = \dfrac{v_1 + v_2}{2}$

Обчислимо середню швидкість руху літака:
$v_{\text{сер}} = \dfrac{600\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}} + 800\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}}{2} = 700\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}$

Відповідь: $v_{\text{сер}} = 700\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}$ .

Пояснення

Записуємо шляхи на кожній половині часу через відповідні швидкості: $l_1 = v_1 \cdot t_1$ та $l_2 = v_2 \cdot t_1$ .
Підставляємо ці вирази у формулу середньої швидкості та скорочуємо однаковий час $t_1$ .
Отримуємо середнє арифметичне двох швидкостей: $700\text{ км/год}$ .

6. Першу половину шляху автомобіль рухався зі швидкістю 60 км/год, а другу половину — зі швидкістю 100 км/год. Знайдіть середню швидкість руху автомобіля.

Дано:	Розв’язання:
$l_1 = l_2 = x$ $v_1 = 60\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}$ $v_2 = 100\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}$ Знайти: $v_{\text{сер}} - ?$	Загальний шлях становить $l = l_1 + l_2 = 2x$ . Час руху на кожній ділянці: $t_1 = \dfrac{x}{v_1}$ , $t_2 = \dfrac{x}{v_2}$ . Середня швидкість: $v_{\text{сер}} = \dfrac{2x}{\dfrac{x}{v_1} + \dfrac{x}{v_2}} = \dfrac{2v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2}$

Обчислимо середню швидкість автомобіля:
$v_{\text{сер}} = \dfrac{2 \cdot 60\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}} \cdot 100\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}}{60\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}} + 100\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}} = \dfrac{12\,000}{160}\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}} = 75\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}$

Відповідь: $v_{\text{сер}} = 75\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}$ .

Пояснення

Позначаємо кожну половину шляху через x, тоді весь шлях дорівнює $2x$ .
Виражаємо час проходження кожної половини шляху: $t_1 = \dfrac{x}{v_1}$ та $t_2 = \dfrac{x}{v_2}$ .
Підставляємо у формулу середньої швидкості, скорочуємо x і обчислюємо результат: $75\text{ км/год}$ .

7. Скориставшись графіком швидкості руху автомобіля (див. рисунок): а) опишіть, як рухався автомобіль; б) визначте шлях, який подолав автомобіль; в) дізнайтеся, скільки часу автомобіль рухався з незмінною швидкістю; г) визначте середню швидкість руху автомобіля за першу хвилину спостереження; за весь час спостереження. У яких ситуаціях автомобіль міг рухатися саме так?

а) Перші $20\text{ с}$ автомобіль набирав швидкість від 0 до $20\text{ м/с}$ ; наступні $10\text{ с}$ (від $20\text{ с}$ до $30\text{ с}$ ) рухався рівномірно зі швидкістю $20\text{ м/с}$ ; далі протягом $30\text{ с}$ (від $30\text{ с}$ до $60\text{ с}$ ) гальмував до зупинки; останні $20\text{ с}$ (від $60\text{ с}$ до $80\text{ с}$ ) перебував у стані спокою.
б) Шлях чисельно дорівнює площі фігури під графіком швидкості:
$l = l_1 + l_2 + l_3 = \dfrac{1}{2} \cdot 20\text{ с} \cdot 20\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}} + 10\text{ с} \cdot 20\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}} + \dfrac{1}{2} \cdot 30\text{ с} \cdot 20\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}} = 200\text{ м} + 200\text{ м} + 300\text{ м} = 700\text{ м}$
в) Автомобіль рухався з незмінною швидкістю $20\text{ м/с}$ протягом $t = 30\text{ с} - 20\text{ с} = 10\text{ с}$ .
г) Середня швидкість за першу хвилину ( $t_1 = 60\text{ с}$ ):
$v_{\text{сер1}} = \dfrac{700\text{ м}}{60\text{ с}} \approx 11{,}7\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$
Середня швидкість за весь час спостереження ( $t_2 = 80\text{ с}$ ):
$v_{\text{сер2}} = \dfrac{700\text{ м}}{80\text{ с}} = 8{,}75\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$
Ситуація: рух автомобіля в місті між двома світлофорами з подальшою зупинкою на червоне світло.

Відповідь: а) $20\text{ с}$ розганявся, $10\text{ с}$ рухався рівномірно, $30\text{ с}$ гальмував, $20\text{ с}$ стояв; б) $700\text{ м}$ ; в) $10\text{ с}$ ; г) $\approx 11{,}7\text{ м/с}$ ; $8{,}75\text{ м/с}$ .

8. Знайдіть карту залізниць вашої області та розклад руху будь-якої приміської електрички. Скориставшись цими даними, визначте середні швидкості руху електрички в обох напрямках слідування; між кількома проміжними станціями.

Приклад розрахунку для приміської електрички за маршрутом Київ — Коростень:

1. Напрямок Київ — Коростень: відстань $l = 169{,}9\text{ км}$ , час у дорозі з 05:35 до 09:12 становить $t = 3\text{ год } 37\text{ хв} \approx 3{,}62\text{ год}$ , середня швидкість:
  $v_{\text{сер}} = \dfrac{169{,}9\text{ км}}{3{,}62\text{ год}} \approx 46{,}9\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}$
1. Зворотний напрямок Коростень — Київ (іншою колією): відстань $l = 155\text{ км}$ , час у дорозі з 05:27 до 09:04 становить $t = 3\text{ год } 37\text{ хв} \approx 3{,}62\text{ год}$ , середня швидкість:
  $v_{\text{сер}} = \dfrac{155\text{ км}}{3{,}62\text{ год}} \approx 42{,}8\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}$
1. Проміжна ділянка Немішаєве — Малин: відстань $l = 61{,}1\text{ км}$ , час у дорозі з 06:38 до 08:04 становить $t = 1\text{ год } 26\text{ хв} \approx 1{,}43\text{ год}$ , середня швидкість:
  $v_{\text{сер}} = \dfrac{61{,}1\text{ км}}{1{,}43\text{ год}} \approx 42{,}7\,\dfrac{\text{км}}{\text{год}}$