§11. Нерівномірний рух. Середня швидкість

ГДЗ Фізика 7 клас Бар’яхтар

Спробуйте навести приклади нерівномірного руху.

Рух автобуса, який час від часу гальмує, зупиняється і знову розганяється.
Рух спортсменів на біговій доріжці.
Рух м’яча, що котиться.
Рух людини під час прогулянки або на уроках фізкультури.

ДОСЛІДЖЕННЯ

Чи можете ви за цими даними встановити характер і швидкість вашого руху в кожний момент часу?

Ні, за отриманими даними про загальний шлях і час неможливо встановити характер (рівномірний чи нерівномірний) і миттєву швидкість руху в кожен момент часу. Середня швидкість характеризує рух в цілому, але не дає інформації про рух в окремі моменти часу.

А ЯК НАСПРАВДІ?

«Першу половину шляху автомобіль рухався зі швидкістю 10 м/с, а другу половину шляху мчав зі швидкістю 40 м/с. Чому дорівнює середня швидкість руху автомобіля на всьому шляху?»

Якщо ви комусь поставите це питання (можете провести опитування серед своїх знайомих), то вам, найімовірніше, дадуть таку відповідь: «Зрозуміло, що 25 м/с». Але це не так. У цьому випадку середня швидкість руху автомобіля становить лише 16 м/с.

Звідки взялася така відповідь?

Звичайно, я з радістю поясню, звідки взялася така відповідь. Розберім це завдання крок за кроком.

Спочатку визначимо, чому проста середня арифметична швидкостей (25 м/с) не є правильною відповіддю:

Середня швидкість - це загальна відстань, поділена на загальний час.
У цьому завданні нам дано швидкості для різних частин шляху, але не час руху.
Ключовим моментом є те, що автомобіль проводить різну кількість часу на кожній половині шляху через різні швидкості.

Тепер розв’яжім задачу правильно:

Таким чином, середня швидкість автомобіля на всьому шляху становить 16 м/с, що враховує різний час, витрачений на кожну половину шляху.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Який рух називають нерівномірним? Наведіть приклади.

Нерівномірний рух — це рух, під час якого тіло за рівні інтервали часу долає різний шлях. Приклади нерівномірного руху включають рух автобуса, який час від часу гальмує і зупиняється, рух тіл, що падають, рух спортсменів на біговій доріжці, а також рух м’яча, що котиться.

2. Назвіть види механічного руху. Наведіть приклади.

Види механічного руху класифікуються за формою траєкторії та характером руху:

За формою траєкторії:

Прямолінійний рух: рух автомобіля по прямій дорозі.
Криволінійний рух: рух планети по орбіті.

За характером руху:

Рівномірний рух: рух ескалатора в торговому центрі.
Нерівномірний рух: рух велосипедиста, який прискорюється і гальмує.

3. Дайте означення середньої швидкості руху тіла. Як її знайти?

Середня швидкість руху тіла — це фізична величина, що дорівнює відношенню всього шляху, який подолало тіло, до інтервалу часу, за який цей шлях подолано. Вона обчислюється за формулою:

$v_{\text{сер}} = \dfrac{l}{t}$

де $l$ - загальний шлях, а $t$ - загальний час руху.

4. Як за графіком швидкості руху тіла знайти шлях, який подолало тіло за певний інтервал часу?

Шлях, який подолало тіло за певний інтервал часу, можна знайти за графіком швидкості руху, обчисливши площу під графіком швидкості за цей інтервал часу. Наприклад, якщо графік швидкості має форму прямокутника або трикутника, то шлях дорівнює площі цих геометричних фігур під графіком.

ВПРАВА № 11

1. Наведіть приклади: а) прямолінійного рівномірного руху; б) прямолінійного нерівномірного руху; в) криволінійного рівномірного руху; г) криволінійного нерівномірного руху.

а) Прямолінійний рівномірний рух:

Рух автомобіля по прямій дорозі з постійною швидкістю.
Рух поїзда на прямому відрізку залізничного шляху без зміни швидкості.

б) Прямолінійний нерівномірний рух:

Рух автомобіля по прямій дорозі з прискоренням або уповільненням (наприклад, при розгоні або гальмуванні).
Спортсмен, що біжить стометрівку

в) Криволінійний рівномірний рух:

Секундна стрілка годинника
Рух супутника по круговій орбіті навколо Землі з постійною швидкістю.

г) Криволінійний нерівномірний рух:

Рух велосипеда по звивистій гірській дорозі з постійною зміною швидкості.
Рух футболіста під час матчу.

2. Хлопчик вийшов зі школи та пішов додому. Перший кілометр шляху він подолав за 0,5 год, а решту 5 км його підвіз тато, витративши на це 0,1 год. Знайдіть середню швидкість руху хлопчика на всьому шляху від школи додому.

Дано:
 $l_1 = 1 \text{ км}$ 
 $t_1 = 0.5 \text{ год}$ 
 $l_2 = 5 \text{ км}$ 
 $t_2 = 0.1 \text{ год}$ 
 $v_\text{сер} = ?$ 
Розв’язання:
Формула для середньої швидкості:
 $v_\text{сер} = \dfrac{l_\text{заг}}{t_\text{заг}}$  $l_\text{заг} = l_1 + l_2$  (загальний шлях)
 $t_\text{заг} = t_1 + t_2$  (загальний час) 
 $v_\text{сер} = \dfrac{l_1 + l_2}{t_1 + t_2}$ 

 $v_\text{сер} = \dfrac{1 \text{ км} + 5 \text{ км}}{0.5 \text{ год} + 0.1 \text{ год}} = \dfrac{6 \text{ км}}{0.6 \text{ год}} = 10 \frac{\text{км}}{\text{год}}$ Відповідь: 10 км/год

3. Потяг за 1 год пройшов 60 км. Потім він рухався ще 30 хв зі швидкістю 90 км/год. Яка середня швидкість руху потяга?

Дано:
 $t_1 = 1 \text{ год}$ 
 $l_1 = 60 \text{ км}$ 
 $t_2 = 30 \text{ хв} = 0.5 \text{ год}$ 
 $v_2 = 90 \frac{\text{км}}{\text{год}}$ 

 $v_\text{сер} - ?$ 
Розв’язання:
Формула для середньої швидкості:
 $v_\text{сер} = \dfrac{l_\text{заг}}{t_\text{заг}}$ 
Загальна відстань та час:
 $l_\text{заг} = l_1 + l_2$ 
 $t_\text{заг} = t_1 + t_2$ Ми знаємо  $l_1$ , але потрібно знайти  $l_2$ :
 $l_2 = v_2 \cdot t_2$ Підставляємо у формулу середньої швидкості:
 $v_\text{сер} = \dfrac{l_1 + v_2 t_2}{t_1 + t_2}$ Обчислення:
 $v_\text{сер} = \dfrac{60 \text{ км} + 90 \frac{\text{км}}{\text{год}} \cdot 0,5 \text{ год}}{1 \text{ год} + 0,5 \text{ год}} = \dfrac{60 \text{ км} + 45 \text{ км}}{1,5 \text{ год}} = \dfrac{105 \text{ км}}{1,5 \text{ год}} = 70 \frac{\text{км}}{\text{год}}$ Відповідь: 70 км/год

4. Підіймаючись на гору, турист подолав шлях 3 км за 1 год. Спускався він з гори тією самою стежкою. Скільки часу витратив турист на спуск, якщо середня швидкість його руху на всьому шляху становила 1 м/с?

Дано:
 $S_п = S_с = 3 \text{ км}$ 
 $t_п = 1 \text{ год}$ 
 $v_с = \text{ м/с} = 3.6 \text{ км/год}$ 
 $t_с - ?$ 
Розв’язання:
Загальний шлях:
 $S = S_п + S_с = 3 км + 3 км = 6 км$ 
Загальний час руху обчислюється за формулою:
 $t_{\text{заг}} = \dfrac{S}{v_{\text{с}}} = \dfrac{6 \text{ км}}{3.6 \text{ км/год}} = \dfrac{5}{3} \text{ години} = 1\dfrac{2}{3} \text{ години} = \text{ 1 год 40 хв}$ Час на спуск:
 $t_{\text{с}} = t_{\text{заг}} - t_{\text{п}} = \text{ 1 год 40 хв - 1 год = 40 хв}$ Відповідь: 40 хв.

5. Першу половину часу польоту літак рухався зі швидкістю 600 км/год, а решту часу — зі швидкістю 800 км/год. Знайдіть середню швидкість руху літака.

Дано: $t_1 = t_2 = t_x$ 
 $v_1 = 600 \frac{\text{км}}{\text{год}}$ 
 $v_2 = 800 \frac{\text{км}}{\text{год}}$ 

 $v_\text{сер} - ?$ 
Розв’язання:
Формула середньої швидкості:
 $v_\text{сер} = \dfrac{l_\text{заг}}{t_\text{заг}}$ 
Загальний шлях та час:
 $l_\text{заг} = l_1 + l_2$ 
 $t_\text{заг} = t_1 + t_2 = t_x + t_x = 2t_x$ Використовуємо формулу шляху  $l = vt$ :
 $l_1 = v_1 t_1 = v_1 t_x$ 
 $l_2 = v_2 t_2 = v_2 t_x$ Підставляємо у формулу загального шляху:
 $l_\text{заг} = v_1 t_x + v_2 t_x = (v_1 + v_2)t_x$ Тепер підставляємо в формулу середньої швидкості:
 $v_\text{сер} = \dfrac{(v_1 + v_2)t_x}{2t_x} = \dfrac{v_1 + v_2}{2}$ Обчислюємо:
 $v_\text{сер} = \dfrac{600 \frac{\text{км}}{\text{год}} + 800 \frac{\text{км}}{\text{год}}}{2} = 700 \frac{\text{км}}{\text{год}}$ Відповідь: 700 км/год

6. Першу половину шляху автомобіль рухався зі швидкістю 60 км/год, а другу половину — зі швидкістю 100 км/год. Знайдіть середню швидкість руху автомобіля.

Дано:
 $l_1 = l_2 = x$ 
 $v_1 = 60 \frac{км}{год}$ 
 $v_2 = 100 \frac{км}{год}$ 
 $v_{сер} - ?$ 
Розв’язання:
Загальна відстань:
 $l_{заг} = l_1 + l_2 = x + x = 2x$ 
Загальний час:
 $t_{заг} = t_1 + t_2$ Час руху для кожної ділянки:
 $t_1 = \dfrac{l_1}{v_1} = \dfrac{x}{v_1}$  $t_2 = \dfrac{l_2}{v_2} = \dfrac{x}{v_2}$ Загальний час руху:
 $t_{заг} = \dfrac{x}{v_1} + \dfrac{x}{v_2} = x \left(\dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2}\right)$ Середня швидкість:
 $v_{сер} = \dfrac{l_{заг}}{t_{заг}} = \dfrac{2x}{x \left(\dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2}\right)} = \dfrac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$ 

 $v_{сер} = \dfrac{2 \cdot 60 \cdot 100}{60+100} = 75\frac{км}{год}$ Відповідь: 75 км/год

Альтернативний розв’язок:

7. Скориставшись графіком швидкості руху автомобіля (див. рисунок): а) опишіть, як рухався автомобіль; б) визначте шлях, який подолав автомобіль; в) дізнайтеся, скільки часу автомобіль рухався з незмінною швидкістю; г) визначте середню швидкість руху автомобіля за першу хвилину спостереження; за весь час спостереження. У яких ситуаціях автомобіль міг рухатися саме так?

а) Опис руху автомобіля

Автомобіль рухався нерівномірно.

Розгін: Автомобіль розганяється з 0 до 20 м/с за перші 20 секунд.
Рух з постійною швидкістю: Автомобіль рухається зі швидкістю 20 м/с протягом наступних 10 секунд (від 20 до 30 секунд).
Гальмування: Автомобіль сповільнюється з 20 м/с до 0 за 30 секунд (від 30 до 60 секунд).
Зупинка: Автомобіль стоїть на місці протягом останніх 20 секунд (від 60 до 80 секунд).

б) Визначення шляху

Щоб визначити шлях, потрібно знайти площу під графіком швидкості.

Розгін (трикутник): $l_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 20 \, \text{с} \cdot 20 \, \text{м/с} = 200 \, \text{м}$
Рух з постійною швидкістю (прямокутник): $l_2 = 10 \, \text{с} \cdot 20 \, \text{м/с} = 200 \, \text{м}$
Гальмування (трикутник): $l_3 = \dfrac{1}{2} \cdot 30 \, \text{с} \cdot 20 \, \text{м/с} = 300 \, \text{м}$

Загальний шлях:

l = 200 \, \text{м} + 200 \, \text{м} + 300 \, \text{м} = 700 \, \text{м}

в) Час руху з незмінною швидкістю

Автомобіль рухався з постійною швидкістю 20 м/с протягом 10 секунд (від 20 до 30 секунд).

г) Середня швидкість

За першу хвилину (60 секунд):
- Загальний шлях за 60 секунд = 700 м.
- Середня швидкість: $v_{\text{середня}} = \dfrac{700 \, \text{м}}{60 \, \text{с}} \approx 11.67 \, \text{м/с}$
За весь час спостереження (80 секунд):
- Загальний шлях = 700 м.
- Середня швидкість: $v_{\text{середня}} = \dfrac{700 \, \text{м}}{80 \, \text{с}} = 8.75 \, \text{м/с}$

Автомобіль міг рухатися таким чином у міських умовах, коли потрібно розганятися, рухатися з постійною швидкістю, гальмувати перед світлофором, а потім зупинятися.

8. Знайдіть карту залізниць вашої області та розклад руху будь-якої приміської електрички. Скориставшись цими даними, визначте середні швидкості руху електрички в обох напрямках слідування; між кількома проміжними станціями.

Ось приклад розрахунку:

Звичайно, я використаю формат LaTeX для представлення формул з зображення. Ось розв’язки задач з використанням LaTeX:

Київ - Коростень:
$l = 169,9 \text{ км}$
$t = 9 \text{ год } 12 \text{ хв} - 5 \text{ год } 35 \text{ хв} = 8 \text{ год } 72 \text{ хв} - 5 \text{ год } 35 \text{ хв} = 3 \text{ год } 37 \text{ хв} = 3 \text{ год} + (37/60) \text{ год} = 3 \text{ год} + 0,62 \text{ год} = 3,62 \text{ год}$
$v_\text{сер} = \dfrac{l}{t} = \dfrac{169,9 \text{ км}}{3,62 \text{ год}} = 46,9 \frac{\text{км}}{\text{год}}$
Коростень - Київ:
$l = 155 \text{ км}$
$t = 9 \text{ год } 4 \text{ хв} - 5 \text{ год } 27 \text{ хв} = 8 \text{ год } 64 \text{ хв} - 5 \text{ год } 27 \text{ хв} = 3 \text{ год} + (37/60) \text{ год} = 3 \text{ год} + 0,62 \text{ год} = 3,62 \text{ год}$
$v_\text{сер} = \dfrac{l}{t} = \dfrac{155 \text{ км}}{3,62 \text{ год}} = 42,8 \frac{\text{км}}{\text{год}}$
Немирівське - Малин:
$l = 1158 - 547 = 61,1 \text{ км}$
$t = 8 \text{ год } 4 \text{ хв} - 6 \text{ год } 38 \text{ хв} = 7 \text{ год } 64 \text{ хв} - 6 \text{ год } 38 \text{ хв} = 1 \text{ год } 26 \text{ хв} = 1 \text{ год} + (26/60) \text{ год} = 1 \text{ год} + 0,43 \text{ год} = 1,43 \text{ год}$
$v_\text{сер} = \dfrac{l}{t} = \dfrac{61,1 \text{ км}}{1,43 \text{ год}} = 42,7 \frac{\text{км}}{\text{год}}$

Відповід: 1) 46,9 км/год, 2) 42,8 км/год, 3) 42,7 км/год