§ 6. Дізнаємося про імпульс тіла та закон збереження імпульсу

• Назад до змісту довідника

ДОСЛІДЖУЙ

Як ти вважаєш, яку кулю легше зупинити: тенісний м’яч, що летить зі швидкістю $5\text{ м/с}$, чи кулю для боулінгу, що рухається з такою самою швидкістю? Який автомобіль швидше зупиниться: той, що рухається зі швидкістю $20\text{ км/год}$, чи такий самий, але швидкість якого $100\text{ км/год}$? Змоделюй подібні ситуації, щоб перевірити свої припущення на практиці.

Тенісний м’яч зупинити значно легше, ніж кулю для боулінгу. За однакової швидкості куля для боулінгу має в десятки разів більшу масу, тому її імпульс значно переважає імпульс тенісного м’яча, а отже, для її зупинки потрібна суттєво більша сила або триваліший час.

Швидше зупиниться автомобіль, що рухається зі швидкістю $20\text{ км/год}$. При меншій швидкості його початковий імпульс і кінетична енергія є у рази меншими, тому за однакової сили опору час гальмування та гальмівний шлях будуть значно коротшими.

За малюнком 6.3 опиши випадки пружної (а) і непружної (б) взаємодій.

На малюнку 6.3 (а) зображено абсолютно пружну взаємодію: два тіла масами $m_1$ та $m_2$ рухаються назустріч одне одному зі швидкостями $\vec{v}_1$ та $\vec{v}_2$, зазнають короткочасного пружного зіткнення, повністю відновлюють свою початкову форму і розлітаються у протилежні боки зі швидкостями $\vec{v}'_1$ та $\vec{v}'_2$. Механічна енергія в такій взаємодії не перетворюється на тепло.

На малюнку 6.3 (б) показано абсолютно непружну взаємодію: тіла після зіткнення деформуються, з’єднуються в одне тіло спільною масою $m_1 + m_2$ і далі рухаються разом із загальною швидкістю $\vec{v}$. Частина механічної енергії при цьому переходить у внутрішню енергію тіл (витрачається на нагрівання і деформацію).

ДУМАЙ

1. Що таке імпульс тіла та імпульс сили? Який між ними зв’язок?

Імпульс тіла — це векторна фізична величина, що характеризує механічний рух і дорівнює добутку маси тіла m на його швидкість $\vec{v}$:
$\vec{p} = m\vec{v}$

Імпульс сили — це векторна фізична величина, що дорівнює добутку середнього значення сили $\vec{F}$на інтервал часу $t$, протягом якого ця сила діє:
$\vec{F}t$

Зв’язок між ними визначається формулою $\vec{F}t = \Delta\vec{p}$: імпульс сили, що діє на тіло, дорівнює зміні кількості руху (імпульсу) цього тіла.

2. Як залежить зміна імпульсу тіла від значення сили і часу її дії?

Зміна імпульсу тіла прямо пропорційна силі та тривалості її дії. Якщо збільшити прикладену силу або час її прикладання у певну кількість разів, то й зміна імпульсу тіла зросте у стільки ж разів.

3. Як записується II закон Ньютона в імпульсній формі?

Другий закон Ньютона в імпульсній формі записують так:
$\vec{F}t = \Delta\vec{p}\quad \text{або}\quad \vec{F} = \dfrac{\Delta\vec{p}}{t}$
Швидкість зміни імпульсу тіла дорівнює рівнодійній усіх сил, що діють на це тіло.

4. Що таке зовнішні і внутрішні сили системи тіл?

Внутрішні сили — це сили взаємодії між тілами, які належать до складу обраної системи. Зовнішні сили — це сили взаємодії між тілами системи та тілами, які до цієї системи не належать.

5. У чому суть закону збереження імпульсу?

Суть закону полягає в тому, що геометрична сума імпульсів тіл, які утворюють замкнену (ізольовану) систему, залишається незмінною під час будь-яких рухів і взаємодій усередині цієї системи:
$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 + \dots + m_n\vec{v}_n = \text{const}$

РОЗВ’ЯЖИ ЗАДАЧІ

1. Рух матеріальної точки описується рівнянням $x = 5 - 8t + 4t^2$. Вважаючи, що маса точки дорівнює $2\text{ кг}$, визнач імпульс через $2\text{ с}$ і через $4\text{ с}$ після початку відліку часу.

Дано:

• $x(t) = 5 - 8t + 4t^2$
• $m = 2\text{ кг}$
• $t_1 = 2\text{ с}$
• $t_2 = 4\text{ с}$

Знайти:

• $p_1 - ?$
• $p_2 - ?$

Розв’язання:
Загальне кінематичне рівняння рівноприскореного руху вздовж осі $OX$:
$x(t) = x_0 + v_0 t + \dfrac{a t^2}{2}$
Порівнюючи коефіцієнти, маємо:
$x_0 = 5\text{ м},\quad v_0 = -8\text{ м/с},\quad \dfrac{a}{2} = 4 \Rightarrow a = 8\text{ м/с}^2$
Рівняння залежності швидкості від часу:
$v(t) = v_0 + at = -8 + 8t$
Швидкості в задані моменти часу:
$v_1 = -8 + 8 \cdot 2 = 8\text{ м/с}$
$v_2 = -8 + 8 \cdot 4 = 24\text{ м/с}$
Модуль імпульсу тіла:
$p = m \cdot v$
$p_1 = 2\text{ кг} \cdot 8\text{ м/с} = 16\text{ кг}\cdot\text{м/с}$
$p_2 = 2\text{ кг} \cdot 24\text{ м/с} = 48\text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Відповідь: $p_1 = 16\text{ кг}\cdot\text{м/с}$; $p_2 = 48\text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

2. Два непружні тіла масою $2\text{ кг}$ і $6\text{ кг}$ рухаються назустріч одне одному зі швидкістю $2\text{ м/с}$ кожне. З якою швидкістю і в який бік рухатимуться ці тіла після удару?

Дано:

• $m_1 = 2\text{ кг}$
• $m_2 = 6\text{ кг}$
• $v_1 = 2\text{ м/с}$
• $v_2 = 2\text{ м/с}$

Знайти:

• $u - ?$
• напрямок руху $- ?$

Розв’язання:
Тіла взаємодіють абсолютно непружно і після удару рухаються разом як єдине ціле. Запишемо закон збереження імпульсу у векторній формі:
$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = (m_1 + m_2)\vec{u}$
Спрямуємо вісь $OX$ уздовж початкового руху другого тіла ($m_2$). Тоді $v_{2x} = v_2$, а $v_{1x} = -v_1$:
$-m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u_x$
$u_x = \dfrac{m_2 v_2 - m_1 v_1}{m_1 + m_2}$
$u_x = \dfrac{6\text{ кг} \cdot 2\text{ м/с} - 2\text{ кг} \cdot 2\text{ м/с}}{2\text{ кг} + 6\text{ кг}} = \dfrac{12 - 4}{8}\text{ м/с} = 1\text{ м/с}$
Оскільки проєкція $u_x > 0$, спільний рух спрямований у бік початкового руху тіла масою $6\text{ кг}$.

Відповідь: $1\text{ м/с}$ у напрямі початкового руху тіла масою $6\text{ кг}$.

3. На вагонетку масою $800\text{ кг}$, яка котиться по горизонтальній колії зі швидкістю $0{,}2\text{ м/с}$, насипали $200\text{ кг}$ щебеню. На скільки при цьому зменшилася швидкість вагонетки?

Дано:

• $m_1 = 800\text{ кг}$
• $v_1 = 0{,}2\text{ м/с}$
• $m_2 = 200\text{ кг}$

Знайти:

• $u - ?$
• $\Delta v - ?$

Розв’язання:
Щебінь насипають зверху вертикально, тому його початкова горизонтальна швидкість дорівнює нулю ($v_{2x} = 0$). За законом збереження імпульсу в проєкції на горизонтальну вісь руху:
$m_1 v_1 = (m_1 + m_2) u$
$u = \dfrac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}$
$u = \dfrac{800\text{ кг} \cdot 0{,}2\text{ м/с}}{800\text{ кг} + 200\text{ кг}} = \dfrac{160}{1000}\text{ м/с} = 0{,}16\text{ м/с}$
Швидкість вагонетки зменшилася на:
$\Delta v = v_1 - u = 0{,}2 - 0{,}16 = 0{,}04\text{ м/с}$

Відповідь: $u = 0{,}16\text{ м/с}$ (нова швидкість вагонетки); зменшилася на $0{,}04\text{ м/с}$.

4. Вагон масою $20\text{ т}$, рухаючись зі швидкістю $0{,}3\text{ м/с}$, наздоганяє вагон масою $30\text{ т}$, що рухається зі швидкістю $0{,}2\text{ м/с}$. Якою стане швидкість вагонів після взаємодії, якщо удар непружний?

Дано:

• $m_1 = 20\text{ т} = 20\,000\text{ кг}$
• $v_1 = 0{,}3\text{ м/с}$
• $m_2 = 30\text{ т} = 30\,000\text{ кг}$
• $v_2 = 0{,}2\text{ м/с}$

Знайти:

• $u - ?$

Розв’язання:
Вагони рухаються в одному напрямку. Після непружного удару вони зчіплюються та рухаються як одне ціле. Закон збереження імпульсу в проєкції на напрямок руху:
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u$
$u = \dfrac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
$u = \dfrac{20\,000\text{ кг} \cdot 0{,}3\text{ м/с} + 30\,000\text{ кг} \cdot 0{,}2\text{ м/с}}{20\,000\text{ кг} + 30\,000\text{ кг}} = \dfrac{12\,000}{50\,000}\text{ м/с} = 0{,}24\text{ м/с}$

Відповідь: $0{,}24\text{ м/с}$.

5. Під час запуску моделі ракети масою $250\text{ г}$ з неї вийшло майже миттєво $50\text{ г}$ стиснутого повітря зі швидкістю $2\text{ м/с}$. Визнач швидкість, із якою рухатиметься ракета.

Дано:

• $m = 250\text{ г} = 0{,}25\text{ кг}$
• $m_{\text{п}} = 50\text{ г} = 0{,}05\text{ кг}$
• $v_{\text{п}} = 2\text{ м/с}$

Знайти:

• $v_{\text{р}} - ?$

Розв’язання:
Маса оболонки ракети після вильоту повітря:
$m_{\text{р}} = m - m_{\text{п}} = 0{,}25 - 0{,}05 = 0{,}20\text{ кг}$
До запуску ракета перебувала у стані спокою ($p_0 = 0$). За законом збереження імпульсу для замкненої системи:
$m_{\text{р}}\vec{v}_{\text{р}} + m_{\text{п}}\vec{v}_{\text{п}} = 0$
Спрямуємо вісь $OX$ уздовж руху ракети (повітря рухається в протилежний бік):
$m_{\text{р}} v_{\text{р}} - m_{\text{п}} v_{\text{п}} = 0$
$v_{\text{р}} = \dfrac{m_{\text{п}} v_{\text{п}}}{m_{\text{р}}}$
$v_{\text{р}} = \dfrac{0{,}05\text{ кг} \cdot 2\text{ м/с}}{0{,}20\text{ кг}} = \dfrac{0{,}10}{0{,}20}\text{ м/с} = 0{,}5\text{ м/с}$

Відповідь: $0{,}5\text{ м/с}$.

6. Куля вилітає з рушниці в горизонтальному напрямі зі швидкістю $800\text{ м/с}$. Яка швидкість рушниці при віддачі, якщо її маса в 400 разів більша за масу кулі?

Дано:

• $v_{\text{к}} = 800\text{ м/с}$
• $\dfrac{m_{\text{р}}}{m_{\text{к}}} = 400$

Знайти:

• $v_{\text{р}} - ?$

Розв’язання:
До пострілу система перебувала в спокої ($p_0 = 0$). За законом збереження імпульсу:
$m_{\text{к}}\vec{v}_{\text{к}} + m_{\text{р}}\vec{v}_{\text{р}} = 0$
У проєкції на горизонтальну вісь $OX$, спрямовану за напрямком польоту кулі:
$m_{\text{к}} v_{\text{к}} + m_{\text{р}} v_{\text{р}x} = 0$
$v_{\text{р}x} = -\dfrac{m_{\text{к}} v_{\text{к}}}{m_{\text{р}}} = -\dfrac{v_{\text{к}}}{400}$
$v_{\text{р}x} = -\dfrac{800\text{ м/с}}{400} = -2\text{ м/с}$
Знак «мінус» підтверджує, що швидкість рушниці при віддачі спрямована проти руху кулі.

Відповідь: $-2\text{ м/с}$ (модуль швидкості дорівнює $2\text{ м/с}$, напрямлена у бік, протилежний польоту кулі).

7. Вантажівка масою $4000\text{ кг}$, що рухається зі швидкістю $36\text{ км/год}$, вдаряється у легковий автомобіль масою $1000\text{ кг}$, що стоїть перед світлофором. Тривалість удару — $0{,}2\text{ с}$. Яких прискорень вони набувають у результаті аварії? Яка частина кінетичної енергії вантажівки витрачається на деформацію автомобіля?

Дано:

• $m_1 = 4000\text{ кг}$
• $v_1 = 36\text{ км/год} = 10\text{ м/с}$
• $m_2 = 1000\text{ кг}$
• $v_2 = 0\text{ м/с}$
• $t = 0{,}2\text{ с}$

Знайти:

• $a_1 - ?$
• $a_2 - ?$
• $\eta - ?$

Розв’язання:
Удар є абсолютно непружним. За законом збереження імпульсу:
$m_1 v_1 = (m_1 + m_2) u$
$u = \dfrac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} = \dfrac{4000 \cdot 10}{4000 + 1000} = \dfrac{40\,000}{5000} = 8\text{ м/с}$
Прискорення вантажівки в проєкції на напрямок руху:
$a_1 = \dfrac{u - v_1}{t} = \dfrac{8 - 10}{0{,}2} = -10\text{ м/с}^2$
Прискорення легкового автомобіля:
$a_2 = \dfrac{u - v_2}{t} = \dfrac{8 - 0}{0{,}2} = 40\text{ м/с}^2$
Кінетична енергія вантажівки до удару:
$E_{\text{к1}} = \dfrac{m_1 v_1^2}{2} = \dfrac{4000 \cdot 10^2}{2} = 200\,000\text{ Дж} = 200\text{ кДж}$
Кінетична енергія обох зчеплених машин після удару:
$E_{\text{к2}} = \dfrac{(m_1 + m_2) u^2}{2} = \dfrac{5000 \cdot 8^2}{2} = \dfrac{5000 \cdot 64}{2} = 160\,000\text{ Дж} = 160\text{ кДж}$
Енергія, витрачена на деформацію:
$\Delta E = E_{\text{к1}} - E_{\text{к2}} = 200 - 160 = 40\text{ кДж}$
Частка втраченої енергії:
$\eta = \dfrac{\Delta E}{E_{\text{к1}}} = \dfrac{40}{200} = 0{,}2 = 20\,\%$

Відповідь: $a_1 = -10\text{ м/с}^2$; $a_2 = 40\text{ м/с}^2$; $20\,\%$.

8. Виконай завдання за симуляціями 6.2, 6.3.

У симуляції 6.2 досліджуємо пружне зіткнення двох кульок на горизонтальній доріжці: сумарний імпульс системи залишається сталим, а кінетична енергія не втрачається. Кулі після зіткнення відскакують зі збереженням сумарної кінетичної енергії.

У симуляції 6.3 моделюємо непружне зіткнення: кульки після контакту зчіплюються і рухаються з однаковою швидкістю. Повний імпульс системи зберігається незмінним, проте частина кінетичної енергії переходить у внутрішню енергію деформації.

ВИКОНАЙ ДОСЛІДЖЕННЯ

1. Досліди залежність імпульсу тіла від маси та швидкості.

• Як змінюється імпульс при збільшенні маси?

При збільшенні маси тіла його імпульс збільшується прямо пропорційно. Якщо швидкість залишається сталою, то при зростанні маси у два рази імпульс тіла також збільшується вдвічі.

• Як залежить імпульс від швидкості?

Імпульс тіла прямо пропорційний його швидкості. Зі збільшенням швидкості руху у певну кількість разів імпульс зростає у стільки ж разів.

• Як можна пояснити зміну руху при ударі тіл?

Зміна руху під час удару зумовлена дією сили пружності та реакції, які виникають у місці контакту протягом інтервалу часу удару. Імпульс цієї сили змінює швидкість кожного з тіл згідно з формулою $\vec{F}t = \Delta\vec{p}$.

• Уяви ситуацію з повсякденного життя, де імпульс відіграє важливу роль (наприклад, футбол, автомобільне гальмування, бокс). Поясни, як у цій ситуації допомагають знання про імпульс.

У боксі та футболі спортсмени використовують рукавички чи спеціальні щитки, а в автомобілях — подушки безпеки й зони деформації кузова. Ці засоби подовжують час взаємодії $t$ під час удару, тому з формули $F = \dfrac{\Delta p}{t}$ діюча сила $F$ різко зменшується, що захищає спортсмена або водія від важких травм.

2. Виконай віртуальну лабораторну роботу 6.4.

Тема: Дослідження закону збереження імпульсу під час пружного та непружного зіткнення.
Мета: експериментально перевірити закон збереження імпульсу в замкненій системі двох тіл.
Обладнання: віртуальна симуляція (інтерактивна модель зіткнень куль на площині).

Хід роботи:

1. Налаштовуємо модель для одновимірного руху двох візків або кульок.
2. Проводимо дослід 1 з пружним зіткненням (еластичність $100\,\%$).
3. Проводимо дослід 2 з абсолютно непружним зіткненням (еластичність $0\,\%$).
4. Заносимо значення швидкостей і мас до звітної таблиці та обчислюємо імпульси системи до і після взаємодії.

Обчислення:

• Для досліду 1:
  $p_{\text{до}} = 1{,}0 \cdot 1{,}0 + 1{,}0 \cdot (-0{,}5) = 0{,}5\text{ кг}\cdot\text{м/с}$
  $p_{\text{після}} = 1{,}0 \cdot (-0{,}5) + 1{,}0 \cdot 1{,}0 = 0{,}5\text{ кг}\cdot\text{м/с}$
• Для досліду 2:
  $p_{\text{до}} = 1{,}5 \cdot 1{,}2 + 1{,}0 \cdot 0 = 1{,}8\text{ кг}\cdot\text{м/с}$
  $p_{\text{після}} = (1{,}5 + 1{,}0) \cdot 0{,}72 = 1{,}8\text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Висновок: Під час дослідження як пружного, так і непружного удару підтверджено виконання закону збереження імпульсу: сумарний імпульс замкненої системи тіл до зіткнення дорівнює її сумарному імпульсу після взаємодії.

ОПРАЦЮЙ ІНФОРМАЦІЮ

Дізнайся з додаткових джерел про реактивний рух. Наведи щонайменше три приклади використання реактивного руху в сучасній техніці та поясни його роль у кожному випадку. Яка роль належить Україні у розробленні космічних апаратів? Чи бере Україна участь у сучасних міжнародних космічних проєктах або має власні супутники на орбіті? Наведи приклади. Чи зустрічається реактивний рух у живій природі? Наведи 1–2 приклади організмів.

Реактивним рухом називають рух тіла, який виникає тоді, коли від нього з певною швидкістю відокремлюється якась частина.

Приклади використання в техніці:

• Ракети-носії космічного призначення — виводять на орбіту штучні супутники та космічні станції завдяки викиду продуктів згоряння палива через реактивне сопло.
• Реактивна авіація — турбореактивні двигуни створюють тягу для високошвидкісних польотів вантажних і пасажирських літаків на великих висотах.
• Системи маневрування космічних кораблів — мікрореактивні двигуни коригують орієнтацію та траєкторію апарата у відкритому космосі.

Україна має визнаний світовий статус космічної держави. Провідні підприємства КБ «Південне» та ДП «ВО Південмаш» (м. Дніпро) створили десятки типів ракет-носіїв («Зеніт», «Циклон») та супутників серії «Січ». Українські фахівці виготовляли конструкцію першого ступеня ракети-носія Antares для NASA та рідинний двигун четвертого ступеня VG 143 для європейської ракети Vega. Україна запустила на орбіту власний супутник дистанційного зондування Землі «Січ-2-30», а київські науковці КПІ ім. Ігоря Сікорського створили та вивели в космос серію успішних наносупутників «PolyITAN».

У живій природі реактивний рух використовують кальмари, восьминоги та медузи. Кальмар вбирає воду в мантійну порожнину, а потім різко виштовхує струмінь крізь вузьке сопло (сифон), набуваючи значної швидкості руху в протилежний бік.