§ 6. Дізнаємося про імпульс тіла та закон збереження імпульсу

• Назад до змісту довідника

РОЗВ’ЯЖИ ЗАДАЧІ

1 Через який час після аварійного гальмування зупиниться автобус, що рухається з швидкістю 12 м/с, якщо коефіцієнт тертя дорівнює 0,4?

Дано:

• $v_0 = 12\text{ м/с}$
• $v = 0\text{ м/с}$
• $\mu = 0{,}4$
• $g = 10\text{ м/с}^2$

Знайти:

• $t - ?$

Розв’язання:

Під час аварійного гальмування на горизонтальній дорозі єдиною силою, що діє на автобус у напрямку руху, є сила тертя ковзання:

$F_{\text{терт}} = \mu \cdot N$

Оскільки рух відбувається по горизонтальній поверхні, то сила нормальної реакції опори компенсує силу тяжкості:

$N = m \cdot g$

$F_{\text{терт}} = \mu \cdot m \cdot g$

За другим законом Ньютона, сила тертя надає автобусу гальмівного прискорення:

$F_{\text{терт}} = m \cdot a$

$\mu \cdot m \cdot g = m \cdot a$

$a = \mu \cdot g$

Прискорення при рівносповільненому русі до повної зупинки визначається за формулою:

$a = \dfrac{v_0 - v}{t}$

Оскільки кінцева швидкість $v = 0\text{ м/с}$, маємо:

$a = \dfrac{v_0}{t}$

Звідси знайдемо час гальмування:

$t = \dfrac{v_0}{a} = \dfrac{v_0}{\mu \cdot g}$

$t = \dfrac{12}{0{,}4 \cdot 10} = 3\text{ с}$

Відповідь: 3 с.

2 Тролейбус, маса якого 10 т, рушаючи з місця, на шляху 50 м набирає швидкість 10 м/с. Визнач коефіцієнт опору, якщо сила тяги дорівнює 14 кН.

Дано:

• $m = 10\text{ т} = 10^4\text{ кг}$
• $v_0 = 0\text{ м/с}$
• $s = 50\text{ м}$
• $v = 10\text{ м/с}$
• $F_{\text{тяги}} = 14\text{ кН} = 14 \cdot 10^3\text{ Н}$
• $g = 10\text{ м/с}^2$

Знайти:

• $\mu - ?$

Розв’язання:

Прискорення тролейбуса під час розгону з місця визначається кінематичною формулою:

$s = \dfrac{v^2 - v_0^2}{2 \cdot a}$

Оскільки $v_0 = 0\text{ м/с}$, формула набуває вигляду:

$s = \dfrac{v^2}{2 \cdot a}$

$a = \dfrac{v^2}{2 \cdot s}$

$a = \dfrac{10^2}{2 \cdot 50} = 1\text{ м/с}^2$

За другим законом Ньютона, рівнодійна сил, що діють на тролейбус уздовж горизонту, дорівнює добутку його маси на прискорення:

$F_{\text{тяги}} - F_{\text{опору}} = m \cdot a$

Сила опору визначається через коефіцієнт опору:

$F_{\text{опору}} = \mu \cdot m \cdot g$

Підставимо це значення в рівняння руху:

$F_{\text{тяги}} - \mu \cdot m \cdot g = m \cdot a$

$\mu \cdot m \cdot g = F_{\text{тяги}} - m \cdot a$

$\mu = \dfrac{F_{\text{тяги}} - m \cdot a}{m \cdot g}$

$\mu = \dfrac{14 \cdot 10^3 - 10^4 \cdot 1}{10^4 \cdot 10} = \dfrac{14000 - 10000}{100000} = \dfrac{4000}{100000} = 0{,}04$

Відповідь: 0,04.

3 Пружину одним кінцем прикріплено до бруска масою 0,6 кг, який розміщено на гладкому горизонтальному столі. Вільний кінець пружини почали переміщувати прямолінійно вздовж стола з прискоренням 0,2 м/с². Визнач жорсткість пружини, якщо вона розтягнулася на 2 см. Масою пружини знехтувати.

Дано:

• $m = 0{,}6\text{ кг}$
• $a = 0{,}2\text{ м/с}^2$
• $x = 2\text{ см} = 0{,}02\text{ м}$

Знайти:

• $k - ?$

Розв’язання:

Оскільки стіл гладкий, сила тертя відсутня. Єдиною силою, яка діє на брусок у горизонтальному напрямку та надає йому прискорення, є сила пружності розтягнутої пружини:

$F_{\text{пруж}} = m \cdot a$

За законом Гука, модуль сили пружності дорівнює:

$F_{\text{пруж}} = k \cdot x$

Прирівнявши ці вирази, отримаємо:

$k \cdot x = m \cdot a$

$k = \dfrac{m \cdot a}{x}$

$k = \dfrac{0{,}6 \cdot 0{,}2}{0{,}02} = 6\text{ Н/м}$

Відповідь: 6 Н/м.

4 По горизонтальній дорозі тягнуть за мотузок під кутом 30° вантаж, загальна маса якого 80 кг. Сила натягу 50 Н. Визнач коефіцієнт тертя ковзання, якщо вантаж рухається з прискоренням 0,15 м/с².

Дано:

• $m = 80\text{ кг}$
• $\alpha = 30^\circ$
• $F = 50\text{ Н}$
• $a = 0{,}15\text{ м/с}^2$
• $g = 10\text{ м/с}^2$
• $\cos 30^\circ \approx 0{,}866$
• $\sin 30^\circ = 0{,}5$

Знайти:

• $\mu - ?$

Розв’язання:

Запишемо другий закон Ньютона для вантажу у векторній формі:

$m \cdot \vec{a} = \vec{F} + m \cdot \vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{\text{терт}}$

Спрямуємо вісь $Ox$ горизонтально в напрямку руху, а вісь $Oy$ — вертикально вгору. Знайдемо проекції сил на координатні осі:

$Ox: m \cdot a = F \cdot \cos \alpha - F_{\text{терт}}$

$Oy: 0 = F \cdot \sin \alpha + N - m \cdot g$

З рівняння для осі $Oy$ визначимо силу нормальної реакції опори:

$N = m \cdot g - F \cdot \sin \alpha$

Сила тертя ковзання дорівнює:

$F_{\text{терт}} = \mu \cdot N = \mu \cdot (m \cdot g - F \cdot \sin \alpha)$

Підставимо силу тертя в рівняння для осі $Ox$:

$m \cdot a = F \cdot \cos \alpha - \mu \cdot (m \cdot g - F \cdot \sin \alpha)$

$\mu \cdot (m \cdot g - F \cdot \sin \alpha) = F \cdot \cos \alpha - m \cdot a$

$\mu = \dfrac{F \cdot \cos \alpha - m \cdot a}{m \cdot g - F \cdot \sin \alpha}$

$\mu = \dfrac{50 \cdot 0{,}866 - 80 \cdot 0{,}15}{80 \cdot 10 - 50 \cdot 0{,}5}$

$\mu = \dfrac{43{,}3 - 12}{800 - 25} = \dfrac{31{,}3}{775} \approx 0{,}04$

Відповідь: 0,04.

5 Виконай завдання за симуляцією 5.1. в е-додатку

Для виконання цього практичного завдання необхідно перейти до електронного додатку підручника, відкрити симуляцію 5.1, що демонструє рух тіла під дією кількох сил (наприклад, ковзання бруска по похилій або горизонтальній площині), встановити вказані в інструкціях параметри (масу тіла, силу тяги, коефіцієнт тертя) та зафіксувати отримані значення прискорення або часу руху для підтвердження теоретичних розрахунків.

ДОСЛІДЖУЙ

Як ти вважаєш, яку кулю легше зупинити: тенісний м’яч, що летить зі швидкістю 5 м/с, чи кулю для боулінгу, що рухається з такою самою швидкістю? Який автомобіль швидше зупиниться: той, що рухається зі швидкістю 20 км/год, чи такий самий, але швидкість якого 100 км/год?

Тенісний м’яч зупинити легше, оскільки його маса є значно меншою за масу кулі для боулінгу, тому за однакової швидкості він має суттєво менший імпульс.

Швидше зупиниться автомобіль, який рухається зі швидкістю 20 км/год, оскільки його початковий імпульс та кінетична енергія є значно меншими, ніж у такого самого автомобіля на швидкості 100 км/год, що потребує меншого гальмівного шляху та часу для повної зупинки.

За малюнком 6.3 опиши випадки пружної (а) і непружної (б) взаємодій.

На малюнку 6.3 (а) зображено абсолютно пружну взаємодію, за якої два тіла масами $m_1$ та $m_2$, що рухалися назустріч одне одному зі швидкостями $\vec{v}_1$ та $\vec{v}_2$, після зіткнення повністю відновлюють свою форму та розлітаються у протилежних напрямках зі швидкостями $\vec{v}'_1$ та $\vec{v}'_2$.

На малюнку 6.3 (б) зображено абсолютно непружну взаємодію, за якої два тіла масами $m_1$ та $m_2$, що рухалися назустріч одне одному зі швидкостями $\vec{v}_1$ та $\vec{v}_2$, внаслідок зіткнення з’єднуються в одне тіло загальною масою $m_1 + m_2$ і далі рухаються в одному напрямку як єдине ціле зі спільною швидкістю $\vec{v}$.

ДУМАЙ

1. Що таке імпульс тіла та імпульс сили? Який між ними зв’язок?

Імпульс тіла — це векторна фізична величина, що характеризує механічний рух і дорівнює добутку маси тіла $m$ на його швидкість $\vec{v}$($\vec{p} = m\vec{v}$).

Імпульс сили — це векторна фізична величина, яка дорівнює добутку середнього значення сили $\vec{F}$на інтервал часу $t$ її дії ($\vec{F}t$).

Зв’язок між ними полягає в тому, що імпульс сили, яка діє на тіло, дорівнює зміні імпульсу цього тіла:

$\vec{F}t = \Delta\vec{p}$

2. Як залежить зміна імпульсу тіла від значення сили і часу її дії?

Зміна імпульсу тіла прямо пропорційна значенню прикладеної сили та тривалості її дії. Збільшення сили або часу її дії призводить до пропорційного збільшення зміни імпульсу тіла.

3. Як записується II закон Ньютона в імпульсній формі?

Другий закон Ньютона в імпульсній формі записується як:

$\vec{F}t = \Delta\vec{p}$

або

$\vec{F} = \dfrac{\Delta\vec{p}}{t}$

Ця формула означає, що зміна імпульсу тіла за одиницю часу дорівнює силі, що діє на це тіло.

ДУМАЙ

4. Що таке зовнішні і внутрішні сили системи тіл?

Внутрішні сили — це сили, з якими тіла системи взаємодіють одне з одним усередині цієї системи. Зовнішні сили — це сили, які діють на тіла системи з боку інших тіл, що не входять до складу цієї системи.

5. У чому суть закону збереження імпульсу?

Суть закону збереження імпульсу полягає в тому, що геометрична сума імпульсів тіл, які утворюють замкнену систему, залишається сталою під час будь-яких рухів і взаємодій тіл усередині цієї системи.

РОЗВ’ЯЖИ ЗАДАЧІ

1 Рух матеріальної точки описується рівнянням $x = 5 - 8t + 4t^2$. Вважаючи, що маса точки дорівнює 2 кг, визнач імпульс через 2 с і через 4 с після початку відліку часу.

Дано:

• $x = 5 - 8t + 4t^2$
• $m = 2\text{ кг}$
• $t_1 = 2\text{ с}$
• $t_2 = 4\text{ с}$

Знайти:

• $p_1 - ?$
• $p_2 - ?$

Розв’язання:

Для знаходження швидкості руху матеріальної точки знайдемо першу похідну від координати за часом (або порівняємо рівняння руху $x = x_0 + v_0 t + \dfrac{a t^2}{2}$ із заданим):

$v(t) = x'(t) = (5 - 8t + 4t^2)' = -8 + 8t$

Визначимо проекцію швидкості тіла в моменти часу $t_1$ та $t_2$:

$v_1 = -8 + 8 \cdot 2 = 8\text{ м/с}$

$v_2 = -8 + 8 \cdot 4 = 24\text{ м/с}$

Формула для обчислення імпульсу тіла:

$p = m \cdot v$

Обчислимо значення імпульсу тіла в задані моменти часу:

$p_1 = 2 \cdot 8 = 16\text{ кг} \cdot \text{м/с}$

$p_2 = 2 \cdot 24 = 48\text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Відповідь: $16\text{ кг} \cdot \text{м/с}$ та $48\text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

2 Два непружні тіла масою 2 кг і 6 кг рухаються назустріч одне одному зі швидкістю 2 м/с кожне. З якою швидкістю і в який бік рухатимуться ці тіла після удару?

Дано:

• $m_1 = 2\text{ кг}$
• $m_2 = 6\text{ кг}$
• $v_1 = 2\text{ м/с}$
• $v_2 = 2\text{ м/с}$

Знайти:

• $u - ?$
• Напрямок руху після удару

Розв’язання:

Оскільки тіла непружні, після зіткнення вони рухатимуться разом як одне тіло загальною масою $m_1 + m_2$ із загальною швидкістю $u$.

Спрямуємо вісь $OX$ уздовж напрямку руху другого тіла масою $m_2$ (оскільки воно має більшу масу і його початковий імпульс більший). Тоді проекція швидкості другого тіла на вісь $OX$ є додатною ($v_{2x} = v_2$), а першого — від’ємною ($v_{1x} = -v_1$).

Запишемо закон збереження імпульсу в проекції на вісь $OX$:

$-m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot u_x$

Звідси знайдемо проекцію швидкості після удару $u_x$:

$u_x = \dfrac{-m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2}{m_1 + m_2}$

$u_x = \dfrac{-2 \cdot 2 + 6 \cdot 2}{2 + 6} = \dfrac{-4 + 12}{8} = \dfrac{8}{8} = 1\text{ м/с}$

Оскільки отримане значення проекції швидкості є додатним ($u_x > 0$), тіла після удару рухатимуться в бік початкового руху тіла більшої маси (другого тіла).

Відповідь: $1\text{ м/с}$, у бік початкового руху тіла масою 6 кг.

3 На вагонетку масою 800 кг, яка котиться по горизонтальній колії зі швидкістю 0,2 м/с, насипали 200 кг щебеню. На скільки при цьому зменшилася швидкість вагонетки?

Дано:

• $m_1 = 800\text{ кг}$
• $v_1 = 0{,}2\text{ м/с}$
• $m_2 = 200\text{ кг}$

Знайти:

• $\Delta v - ?$

Розв’язання:

Щебінь насипають на вагонетку вертикально, тому його початкова горизонтальна швидкість дорівнює нулю. Після взаємодії вагонетка зі щебенем рухатимуться разом як одне тіло із загальною швидкістю $u$.

Запишемо закон збереження імпульсу в проекції на горизонтальну вісь $OX$:

$m_1 \cdot v_1 = (m_1 + m_2) \cdot u$

Знайдемо швидкість руху вагонетки після насипання щебеню $u$:

$u = \dfrac{m_1 \cdot v_1}{m_1 + m_2}$

$u = \dfrac{800 \cdot 0{,}2}{800 + 200} = \dfrac{160}{1000} = 0{,}16\text{ м/с}$

Зміна швидкості вагонетки становить:

$\Delta v = v_1 - u$

$\Delta v = 0{,}2 - 0{,}16 = 0{,}04\text{ м/с}$

Відповідь: швидкість вагонетки зменшилася на $0{,}04\text{ м/с}$.

РОЗВ’ЯЖИ ЗАДАЧІ

4 Вагон масою 20 т, рухаючись зі швидкістю 0,3 м/с, наздоганяє вагон масою 30 т, що рухається зі швидкістю 0,2 м/с. Якою стане швидкість вагонів після взаємодії, якщо удар непружний?

Дано:

• $m_1 = 20\text{ т} = 2 \cdot 10^4\text{ кг}$
• $v_1 = 0{,}3\text{ м/с}$
• $m_2 = 30\text{ т} = 3 \cdot 10^4\text{ кг}$
• $v_2 = 0{,}2\text{ м/с}$

Знайти:

• $v - ?$

Розв’язання:

Оскільки перший вагон наздоганяє другий, то вони рухаються в одному напрямку.
Після непружного удару вагони зчепляться і будуть рухатися разом як одне тіло загальною масою $m_1 + m_2$ зі спільною швидкістю $v$.

Запишемо закон збереження імпульсу у векторному вигляді:

$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = (m_1 + m_2)\vec{v}$

Спрямуємо вісь $OX$ уздовж напрямку руху вагонів. Проєкції швидкостей на цю вісь є додатними.
Запишемо закон збереження імпульсу в проєкціях на вісь $OX$:

$m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v$

Звідси знайдемо спільну швидкість вагонів $v$:

$v = \dfrac{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2}{m_1 + m_2}$

Обчислимо значення швидкості:

$v = \dfrac{20 \cdot 10^3 \cdot 0{,}3 + 30 \cdot 10^3 \cdot 0{,}2}{20 \cdot 10^3 + 30 \cdot 10^3}$

$v = \dfrac{10^3 \cdot (6 + 6)}{50 \cdot 10^3} = \dfrac{12}{50} = 0{,}24\text{ м/с}$

Відповідь: 0,24 м/с.

5 Під час запуску моделі ракети масою 250 г з неї вийшло майже миттєво 50 г стиснутого повітря зі швидкістю 2 м/с. Визнач швидкість, із якою рухатиметься ракета.

Дано:

• $m_{\text{р}} = 250\text{ г} = 0{,}25\text{ кг}$
• $m_{\text{п}} = 50\text{ г} = 0{,}05\text{ кг}$
• $v_{\text{п}} = 2\text{ м/с}$

Знайти:

• $v_{\text{р}}' - ?$

Розв’язання:

До моменту запуску (виходу повітря) модель ракети разом із повітрям перебувала у стані спокою, тому початковий імпульс системи дорівнював нулю:

$p_0 = 0$

Після виходу стиснутого повітря маса самої ракети становить:

$m_{\text{р}}' = m_{\text{р}} - m_{\text{п}}$

$m_{\text{р}}' = 0{,}25 - 0{,}05 = 0{,}20\text{ кг}$

За законом збереження імпульсу системи тіл, сума імпульсів ракети та випущеного повітря після взаємодії дорівнює початковому імпульсу:

$m_{\text{р}}'\vec{v}_{\text{р}}' + m_{\text{п}}\vec{v}_{\text{п}} = 0$

Спрямуємо координаційну вісь $OX$ у напрямку виходу стиснутого повітря. Тоді проєкція швидкості повітря $v_{\text{п}x} = v_{\text{п}}$, а проєкція швидкості ракети $v_{\text{р}x}' = -v_{\text{р}}'$.

Запишемо рівняння в проєкціях на вісь $OX$:

$-m_{\text{р}}' \cdot v_{\text{р}}' + m_{\text{п}} \cdot v_{\text{п}} = 0$

$m_{\text{р}}' \cdot v_{\text{р}}' = m_{\text{п}} \cdot v_{\text{п}}$

Звідси знайдемо швидкість руху моделі ракети:

$v_{\text{р}}' = \dfrac{m_{\text{п}} \cdot v_{\text{п}}}{m_{\text{р}}'}$

Обчислимо шукану величину:

$v_{\text{р}}' = \dfrac{0{,}05 \cdot 2}{0{,}20} = \dfrac{0{,}1}{0{,}2} = 0{,}5\text{ м/с}$

Відповідь: 0,5 м/с.

6 Куля вилітає з рушниці в горизонтальному напрямі зі швидкістю 800 м/с. Яка швидкість рушниці при віддачі, якщо її маса в 400 разів більша за масу кулі?

Дано:

• $v_{\text{к}} = 800\text{ м/с}$
• $m_{\text{р}} = 400 \cdot m_{\text{к}}$

Знайти:

• $v_{\text{р}} - ?$

Розв’язання:

До пострілу рушниця з кулею перебували в спокої, тому початковий імпульс системи дорівнює нулю.
За законом збереження імпульсу, імпульс системи після пострілу також має дорівнювати нулю:

$m_{\text{к}}\vec{v}_{\text{к}} + m_{\text{р}}\vec{v}_{\text{р}} = 0$

Оскільки рушниця при віддачі рухається у протилежному до руху кулі напрямі, спроєктуємо вектори на горизонтальну вісь $OX$, спрямовану вздовж руху кулі:

$m_{\text{к}} \cdot v_{\text{к}} - m_{\text{р}} \cdot v_{\text{р}} = 0$

$m_{\text{р}} \cdot v_{\text{р}} = m_{\text{к}} \cdot v_{\text{к}}$

Звідси визначимо швидкість віддачі рушниці:

$v_{\text{р}} = \dfrac{m_{\text{к}} \cdot v_{\text{к}}}{m_{\text{р}}}$

Підставимо відношення мас $m_{\text{р}} = 400 \cdot m_{\text{к}}$ у формулу:

$v_{\text{р}} = \dfrac{m_{\text{к}} \cdot v_{\text{к}}}{400 \cdot m_{\text{к}}} = \dfrac{v_{\text{к}}}{400}$

Обчислимо значення швидкості віддачі:

$v_{\text{р}} = \dfrac{800}{400} = 2\text{ м/с}$

Відповідь: 2 м/с.

7 Вантажівка масою 4000 кг, що рухається зі швидкістю 36 км/год, вдаряється у легковий автомобіль масою 1000 кг, що стоїть перед світлофором. Тривалість удару — 0,2 с. Яких прискорень вони набувають у результаті аварії? Яка частина кінетичної енергії вантажівки витрачається на деформацію автомобіля?

Дано:

• $m_1 = 4000\text{ кг}$
• $v_1 = 36\text{ км/год} = 10\text{ м/с}$
• $m_2 = 1000\text{ кг}$
• $v_2 = 0\text{ м/с}$
• $\Delta t = 0{,}2\text{ с}$

Знайти:

• $a_1 - ?$
• $a_2 - ?$
• $\eta - ?$

Розв’язання:

Внаслідок удару взаємодія відбувається непружно (автомобілі деформуються і починають рухатися разом як єдине ціле).
Запишемо закон збереження імпульсу для непружного удару вздовж осі руху вантажівки:

$m_1 \cdot v_1 = (m_1 + m_2) \cdot v$

Звідси знайдемо швидкість автомобілів $v$ одразу після удару:

$v = \dfrac{m_1 \cdot v_1}{m_1 + m_2}$

$v = \dfrac{4000 \cdot 10}{4000 + 1000} = \dfrac{40000}{5000} = 8\text{ м/с}$

Прискорення вантажівки $a_1$ за час взаємодії $\Delta t$:

$a_1 = \dfrac{|v - v_1|}{\Delta t} = \dfrac{|8 - 10|}{0{,}2} = \dfrac{2}{0{,}2} = 10\text{ м/с}^2$

Прискорення легкового автомобіля $a_2$ за час взаємодії $\Delta t$:

$a_2 = \dfrac{|v - v_2|}{\Delta t} = \dfrac{|8 - 0|}{0{,}2} = \dfrac{8}{0{,}2} = 40\text{ м/с}^2$

Кінетична енергія вантажівки до удару:

$E_{\text{к1}} = \dfrac{m_1 \cdot v_1^2}{2} = \dfrac{4000 \cdot 10^2}{2} = 200000\text{ Дж} = 200\text{ кДж}$

Сумарна кінетична енергія зчеплених автомобілів після удару:

$E_{\text{к2}} = \dfrac{(m_1 + m_2) \cdot v^2}{2} = \dfrac{5000 \cdot 8^2}{2} = \dfrac{5000 \cdot 64}{2} = 160000\text{ Дж} = 160\text{ кДж}$

Енергія, що витрачається на деформацію ($\Delta E$):

$\Delta E = E_{\text{к1}} - E_{\text{к2}} = 200\text{ кДж} - 160\text{ кДж} = 40\text{ кДж}$

Частина кінетичної енергії вантажівки, яка витратилася на деформацію:

$\eta = \dfrac{\Delta E}{E_{\text{к1}}} = \dfrac{40}{200} = 0{,}2\text{ (або } 20\%\text{)}$

Відповідь: $a_1 = 10\text{ м/с}^2$, $a_2 = 40\text{ м/с}^2$; на деформацію витрачається 0,2 (або 20%) кінетичної енергії вантажівки.

8 Виконай завдання за симуляціями 6.2, 6.3

Завдання за симуляціями 6.2 та 6.3 передбачає дослідження пружних та непружних зіткнень двох тіл на одновимірній лінії (наприклад, у віртуальній лабораторії PhET “Collision Lab” / “Лабораторія зіткнень”).

1. Симуляція 6.2 (Пружне зіткнення): При встановленні коефіцієнта пружності на 100% (абсолютно пружний удар) під час зіткнення двох куль повністю зберігається як сумарний імпульс системи, так і її загальна кінетична енергія. Тіла після взаємодії розлітаються в різні боки зі швидкостями, що залежать від їхніх мас.
2. Симуляція 6.3 (Непружне зіткнення): При встановленні коефіцієнта пружності на 0% (абсолютно непружний удар) кульки після зіткнення зчеплюються і продовжують рухатися разом як одне ціле зі спільною швидкістю. При цьому сумарний імпульс системи повністю зберігається, проте частина початкової кінетичної енергії перетворюється на внутрішню енергію (витрачається на деформацію та нагрівання тіл).

ВИКОНАЙ ДОСЛІДЖЕННЯ

1. Як змінюється імпульс при збільшенні маси?

При збільшенні маси тіла його імпульс збільшується прямо пропорційно до маси (за умови незмінної швидкості руху тіла).

2. Як залежить імпульс від швидкості?

Імпульс тіла залежить від швидкості його руху лінійно та прямо пропорційно: у скільки разів збільшується швидкість руху тіла, у стільки ж разів зростає і його імпульс.

3. Як можна пояснити зміну руху при ударі тіл?

Зміну руху при ударі тіл можна пояснити взаємодією тіл, під час якої вони діють одне на одне з певними силами протягом деякого (зазвичай дуже короткого) інтервалу часу. Відповідно до другого закону Ньютона в імпульсній формі, імпульс сили, що діє на кожне з тіл під час удару, дорівнює зміні імпульсу цього тіла ($\vec{F}t = \Delta\vec{p}$), що безпосередньо призводить до зміни швидкостей та напрямків їхнього руху.

4. Уяви ситуацію з повсякденного життя, де імпульс відіграє важливу роль (наприклад, футбол, автомобільне гальмування, бокс). Поясни, як у цій ситуації допомагають знання про імпульс.

У такій ситуації, як автомобільне гальмування та безпека дорожнього руху, знання про імпульс відіграють ключову роль для збереження життя людей. Легковий автомобіль і важка вантажівка, що рухаються з однаковою швидкістю, мають принципово різний імпульс через велику різницю у їхніх масах. Знаючи, що зміна імпульсу тіла пропорційна часу дії гальмівної сили ($\vec{F}t = \Delta\vec{p}$), стає зрозумілим, що важку вантажівку неможливо зупинити миттєво, а її гальмівний шлях буде значно довшим, ніж у легкого авто. Окрім цього, у конструкціях сучасних автомобілів застосовуються зони деформації (бампери, що зминаються) та подушки безпеки. Вони штучно збільшують час взаємодії $t$ тіла людини з перешкодою під час зіткнення, що, згідно з формулою $F = \dfrac{\Delta p}{t}$, суттєво зменшує силу удару $F$, яка діє на пасажира.

2 Виконай віртуальну лабораторну роботу 6.4

Для виконання віртуальної лабораторної роботи з дослідження закону збереження імпульсу (за допомогою популярного інтерактивного симулятора PhET “Collision Lab” / “Лабораторія зіткнень”) необхідно виконати такі кроки:

Віртуальна лабораторна робота: Дослідження пружного та непружного зіткнення тіл

Мета роботи: експериментально перевірити закон збереження імпульсу під час пружного та непружного зіткнень двох тіл у замкненій системі.
Обладнання: комп’ютер/планшет, доступ до інтернету, інтерактивна симуляція PhET “Лабораторія зіткнень”.

Хід роботи

1. Відкрийте симуляцію PhET за напрямом “Зіткнення” (вкладка “Введення” або “1D”).
2. Налаштуйте параметри експерименту: виберіть рух в одному вимірі (1D), увімкніть показ векторів швидкості, значень мас та імпульсів тіл.
3. Дослід 1 (Пружне зіткнення): Встановіть повзунок “Еластичність” на $100\%$.
4. Задайте маси куль $m_1$ та $m_2$ та їхні початкові швидкості $v_1$ та $v_2$. Проведіть запуск та зафіксуйте швидкості куль після зіткнення ($v'_1$ та $v'_2$).
5. Дослід 2 (Непружне зіткнення): Встановіть повзунок “Еластичність” на $0\%$ (тіла злипнуться після зіткнення). Задайте параметри руху та запустіть симуляцію. Зафіксуйте спільну швидкість руху куль після взаємодії ($v'$).
6. Результати вимірювань та відповідних розрахунків занесіть до лабораторної таблиці:

Обробка результатів та розрахунки:

• Для досліду 1 (вектори напрямлені вздовж однієї осі $Ox$):
  $p_{поч} = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = 1{,}0 \cdot 1{,}0 + 1{,}0 \cdot (-0{,}5) = 0{,}5 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$
  $p_{кін} = m_1 \cdot v'_1 + m_2 \cdot v'_2 = 1{,}0 \cdot (-0{,}5) + 1{,}0 \cdot 1{,}0 = 0{,}5 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

• Для досліду 2:
  $p_{поч} = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = 1{,}5 \cdot 1{,}2 + 1{,}0 \cdot 0 = 1{,}8 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$
  $p_{кін} = (m_1 + m_2) \cdot v' = (1{,}5 + 1{,}0) \cdot 0{,}72 = 1{,}8 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Висновок: Під час виконання віртуальної лабораторної роботи було експериментально підтверджено закон збереження імпульсу тіл. У ході дослідження як пружного, так і непружного зіткнень сумарний імпульс замкненої системи тіл до взаємодії дорівнює сумарному імпульсу системи після взаємодії ($p_{поч} = p_{кін}$), що повністю узгоджується з теоретичними положеннями механіки.

ОПРАЦЮЙ ІНФОРМАЦІЮ

Дізнайся із додаткових джерел про реактивний рух. Наведи щонайменше три приклади використання реактивного руху в сучасній техніці та поясни його роль у кожному випадку. Яка роль належить Україні у розробленні космічних апаратів? Чи бере Україна участь у них міжнародних космічних проектах або має власні супутники на орбіті? Наведи приклади. Чи зустрічається реактивний рух у живій природі? Наведи 1–2 приклади організмів.

Реактивним рухом називають рух тіла, що виникає внаслідок відділення від нього з деякою швидкістю певної його частини.

Три приклади використання реактивного руху в сучасній техніці та його роль:

1. Космічні ракети-носії: реактивний рух дозволяє ракетам долати земне тяжіння, виходити у відкритий космос та виводити на орбіту супутники чи міжпланетні станції за рахунок викидання відпрацьованих газів із сопла двигуна.
2. Військова реактивна артилерія та ракетна зброя (наприклад, системи HIMARS чи крилаті ракети): реактивна тяга забезпечує доставку бойової частини на великі відстані з високою швидкістю та точністю.
3. Реактивна авіація: турбореактивні двигуни пасажирських та військових літаків створюють велику тягу, що дає змогу здійснювати швидкі міжконтинентальні перельоти на надзвукових чи близьких до них швидкостях.

Україна займає важливе місце у світовій космічній галузі завдяки потужній науково-технічній базі КБ «Південне» та заводу «Південмаш» у Дніпрі, де розробляли і виготовляли ракети-носії («Зеніт», «Циклон») та супутники серії «Січ».

Наша держава бере активну участь у міжнародних космічних проєктах. Наприклад, українські підприємства створювали основну конструкцію першого ступеня для американської ракети-носія Antares, а також розробили й виготовляли рідинний двигун четвертого ступеня VG 143 для європейської ракети-носії Vega.

Україна має власні розробки на орбіті. Зокрема, у січні 2022 року було запущено оптичний супутник дистанційного зондування Землі «Січ-2-30». Крім того, науковці та студенти КПІ ім. Ігоря Сікорського створили серію вітчизняних наносупутників «PolyITAN», перший з яких (PolyITAN-1) був запущений у 2014 році та встановив рекорд тривалості роботи на орбіті.

У живій природі реактивний рух зустрічається доволі часто. Прикладами таких організмів є:

1. Кальмари (або восьминоги): вони набирають воду у спеціальну порожнину свого тіла, а потім із силою викидають її через вузьку трубку (сифон), завдяки чому швидко переміщуються у протилежному напрямку.
2. Медузи: вони рухаються завдяки ритмічному скороченню свого купола, виштовхуючи з-під нього воду.

ДОСЛІДЖУЙ

Які об’єкти могли «запускати рух» інших?

«Запускати рух» інших об’єктів могли будь-які рухомі тіла, що взаємодіють із нерухомими шляхом зіткнення чи штовхання (наприклад, куля для боулінгу, яка збиває кеглі), а також деформовані пружні тіла (розтягнута або стиснута пружина, зігнута лінійка, натягнута тятива лука) та механізми, які вивільняють накопичену внутрішню чи потенціальну енергію.

1 Поклади м’яч на підлогу. Іншим м’ячем штовхни його. Що сталося з першим м’ячем? Як другий м’яч вплинув на нього?

Перший м’яч, який до цього перебував у стані спокою, почав рухатися. Другий м’яч вплинув на перший механічно під час зіткнення, передавши йому частину свого імпульсу та кінетичної енергії.

2 Зігни злегка один край пластмасової лінійки. Поклади на нього гумку і відпусти край лінійки. Що змусило гумку летіти? Що зробила лінійка?

Гумку змусила летіти сила пружності, що виникла внаслідок деформації лінійки. Лінійка під час розгинання швидко повернулася до своєї початкової форми, виконавши механічну роботу і передавши гумці кінетичну енергію.

3 Заведи пружинну машинку і відпусти. Звідки вона «взяла силу» на рух?

Машинка взяла силу для руху від потенціальної енергії закрученої (стиснутої) металевої пружини всередині її механізму, яка під час розкручування перетворилася на кінетичну енергію обертання коліс.

ДОСЛІДЖУЙ

4 Поклади на дошку під нахилом кульку. Відпусти її. Чому кулька почала котитися?

Кулька почала котитися під дією рівнодійної сили тяжіння та сили реакції опори (сили нормального тиску з боку дошки). Коли дошка знаходиться під нахилом, ці сили не компенсують одна одну, внаслідок чого виникає сила, напрямлена вздовж похилої площини вниз, яка і змушує кульку рухатися з прискоренням.