§ 4. ДОСЛІДЖУЄМО СИЛУ ТЯЖІННЯ І ВІЛЬНЕ ПАДІННЯ

• Назад до змісту довідника

ДОСЛІДЖУЙ

Який результат ти отримав / отримала?

Під час ділення значення сили тяжіння ($F_{\text{тяж}}$), виміряної динамометром, на масу тіла ($m$) у кожному випадку було отримано стале відношення, яке приблизно дорівнює $9{,}8\text{ Н/кг}$ (або при заокругленні $10\text{ Н/кг}$). Цей результат показує, що відношення сили тяжіння до маси тіла є постійною величиною для цієї місцевості і чисельно дорівнює прискоренню вільного падіння $g$:

$\dfrac{F_{\text{тяж}}}{m} = g \approx 9{,}8\text{ Н/кг}$

ДУМАЙ

1. У чому полягає закон всесвітнього тяжіння?

Закон всесвітнього тяжіння полягає в тому, що будь-які два тіла (які можна розглядати як матеріальні точки) притягуються одне до одного із силою, яка прямо пропорційна добутку їхніх мас і обернено пропорційна квадрату відстані між ними. Формула закону:

$F = G \cdot \dfrac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$

де $m_1$ і $m_2$ — маси взаємодіючих тіл, $r$ — відстань між їхніми центрами, $G$ — гравітаційна стала.

Який фізичний зміст гравітаційної сталої?

Фізичний зміст гравітаційної сталої ($G$) полягає в тому, що вона чисельно дорівнює силі, з якою притягуються два тіла масою $1\text{ кг}$ кожне, якщо відстань між їхніми центрами становить $1\text{ м}$. Її значення у системі СI становить:

$G \approx 6{,}67 \cdot 10^{-11}\text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

2. Що слід розуміти під r у формулі закону всесвітнього тяжіння при розрахунку сили гравітаційної взаємодії двох тіл?

Під $r$ у формулі закону всесвітнього тяжіння слід розуміти відстань між матеріальними точками, якими можна представити взаємодіючі тіла, або відстань між центрами великих однорідних куль.

3. Для яких тіл справедливий закон всесвітнього тяжіння?

Закон всесвітнього тяжіння справедливий для тіл, які можна розглядати як матеріальні точки (коли їхні геометричні розміри малі порівняно з відстанню між ними), а також для великих однорідних куль на невеликих відстанях, якщо їхню масу можна вважати зосередженою в центрах.

4. У чому полягає суть досліду Г. Галілея?

Суть досліду Г. Галілея полягає у скиданні з висоти Пізанської вежі одночасно кулі та гарматного ядра різної маси, що дозволило експериментально довести, що прискорення тіл під час падіння не залежить від їхньої маси, оскільки обидва тіла впали практично одночасно.

5. Що таке вільне падіння тіл?

Вільне падіння тіл — це рух тіла під дією лише земного тяжіння, за умови, що опір повітря є незначним і на тіло не діють інші сили.

Який це рух?

Вільне падіння — це рівноприскорений прямолінійний рух.

РОЗВ’ЯЖИ ЗАДАЧІ

1 З якою силою притягуються одна до одної дві книжки масою 0,2 кг кожна, що перебувають на відстані 1 м одна від одної?

Дано:

• $m_1 = 0{,}2\text{ кг}$
• $m_2 = 0{,}2\text{ кг}$
• $r = 1\text{ м}$
• $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Знайти:

• $F - ?$

Розв’язання:

За законом всесвітнього тяжіння сила взаємодії між двома тілами обчислюється за формулою:

$F = G \cdot \dfrac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$

$F = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{0{,}2 \cdot 0{,}2}{1^2} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 0{,}04 = 0{,}2668 \cdot 10^{-11} = 2{,}67 \cdot 10^{-12}\text{ Н}$

Відповідь: $2{,}67 \cdot 10^{-12}\text{ Н}$ (або $2{,}67\text{ пН}$).

2 Визнач силу гравітаційної взаємодії Землі і Місяця, якщо маса Землі становить 5,98 * 10^24 кг, маса Місяця 7,35 * 10^22 кг, а середня відстань між ними дорівнює 3,84 * 10^8 м.

Дано:

• $M_{\text{З}} = 5{,}98 \cdot 10^{24}\text{ кг}$
• $M_{\text{М}} = 7{,}35 \cdot 10^{22}\text{ кг}$
• $r = 3{,}84 \cdot 10^8\text{ м}$
• $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Знайти:

• $F - ?$

Розв’язання:

За законом всесвітнього тяжіння:

$F = G \cdot \dfrac{M_{\text{З}} \cdot M_{\text{М}}}{r^2}$

$F = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{5{,}98 \cdot 10^{24} \cdot 7{,}35 \cdot 10^{22}}{(3{,}84 \cdot 10^8)^2} \approx 2 \cdot 10^{20}\text{ Н}$

Відповідь: $2 \cdot 10^{20}\text{ Н}$.

3 У скільки разів зменшується сила притягання до Землі космічної ракети під час її віддалення від поверхні Землі на відстань, що дорівнює радіусу Землі? П’ятьом радіусам Землі?

Дано:

• $h_1 = R_{\text{З}}$
• $h_2 = 5R_{\text{З}}$

Знайти:

• $\dfrac{F_0}{F_1} - ?$, $\dfrac{F_0}{F_2} - ?$

Розв’язання:

Сила притягання ракети масою $m$ на поверхні Землі:

$F_0 = G \cdot \dfrac{M_{\text{З}} \cdot m}{R_{\text{З}}^2}$

Сила притягання на висоті $h$ від поверхні Землі:

$F = G \cdot \dfrac{M_{\text{З}} \cdot m}{(R_{\text{З}} + h)^2}$

Звідси відношення сил становить:

$\dfrac{F_0}{F} = \dfrac{(R_{\text{З}} + h)^2}{R_{\text{З}}^2}$

1. Для $h_1 = R_{\text{З}}$:

$\dfrac{F_0}{F_1} = \dfrac{(R_{\text{З}} + R_{\text{З}})^2}{R_{\text{З}}^2} = \dfrac{(2R_{\text{З}})^2}{R_{\text{З}}^2} = 4$

2. Для $h_2 = 5R_{\text{З}}$:

$\dfrac{F_0}{F_2} = \dfrac{(R_{\text{З}} + 5R_{\text{З}})^2}{R_{\text{З}}^2} = \dfrac{(6R_{\text{З}})^2}{R_{\text{З}}^2} = 36$

Відповідь: під час віддалення на відстань одного радіуса Землі сила зменшується у 4 рази, а на відстань п’яти радіусів — у 36 разів.

4 Середня відстань між центрами Землі і Місяця дорівнює 60 земним радіусам, а маса Місяця у 81 раз менша від маси Землі. У якій точці на прямій, що з’єднує їх центри, тіло притягатиметься до Землі і до Місяця з однаковими силами?

Дано:

• $L = 60R_{\text{З}}$
• $M_{\text{З}} = 81M_{\text{М}}$

Знайти:

• $x - ?$ (відстань від центра Землі)

Розв’язання:

Нехай шукана точка розташована на відстані $x$ від центра Землі. Тоді відстань від цієї точки до центра Місяця становить $L - x$.

Сила притягання тіла масою $m$ до Землі:

$F_{\text{З}} = G \cdot \dfrac{M_{\text{З}} \cdot m}{x^2}$

Сила притягання тіла до Місяця:

$F_{\text{М}} = G \cdot \dfrac{M_{\text{М}} \cdot m}{(L - x)^2}$

Оскільки сили рівні за модулем ($F_{\text{З}} = F_{\text{М}}$), прирівняємо ці вирази:

$G \cdot \dfrac{M_{\text{З}} \cdot m}{x^2} = G \cdot \dfrac{M_{\text{М}} \cdot m}{(L - x)^2}$

$\dfrac{M_{\text{З}}}{x^2} = \dfrac{M_{\text{М}}}{(L - x)^2}$

Підставимо $M_{\text{З}} = 81M_{\text{М}}$:

$\dfrac{81M_{\text{М}}}{x^2} = \dfrac{M_{\text{М}}}{(L - x)^2}$

$\dfrac{81}{x^2} = \dfrac{1}{(L - x)^2}$

Добудемо квадратний корінь з обох частин рівняння (оскільки відстані $x$ та $L-x$ є додатними величинами і шукана точка лежить між Землею та Місяцем):

$\dfrac{9}{x} = \dfrac{1}{L - x}$

$9(L - x) = x$

$9L - 9x = x$

$10x = 9L$

$x = 0{,}9L$

Підставимо значення відстані $L = 60R_{\text{З}}$:

$x = 0{,}9 \cdot 60R_{\text{З}} = 54R_{\text{З}}$

Відповідь: на відстані $54R_{\text{З}}$ від центра Землі (або $6R_{\text{З}}$ від центра Місяця).

5 Яке прискорення вільного падіння на висоті, що дорівнює половині радіуса Землі?

Дано:

• $h = 0{,}5 \cdot R_{\text{З}}$
• $g_{0} = 9{,}8\text{ м/с}^2$ (прискорення на поверхні Землі)

Знайти:

• $g - ?$

Розв’язання:

Прискорення вільного падіння на поверхні Землі визначається формулою:
$g_{0} = G \cdot \dfrac{M_{\text{З}}}{R_{\text{З}}^2}$

Прискорення вільного падіння на висоті $h$ від поверхні Землі дорівнює:
$g = G \cdot \dfrac{M_{\text{З}}}{(R_{\text{З}} + h)^2}$

Підставимо значення $h = 0{,}5 \cdot R_{\text{З}}$ у формулу для $g$:
$g = G \cdot \dfrac{M_{\text{З}}}{(R_{\text{З}} + 0{,}5 \cdot R_{\text{З}})^2} = G \cdot \dfrac{M_{\text{З}}}{(1{,}5 \cdot R_{\text{З}})^2} = G \cdot \dfrac{M_{\text{З}}}{2{,}25 \cdot R_{\text{З}}^2}$

Звідси отримуємо співвідношення:
$g = \dfrac{g_{0}}{2{,}25}$

Обчислимо числове значення:
$g = \dfrac{9{,}8}{2{,}25} \approx 4{,}36\text{ м/с}^2$

Відповідь: $\approx 4{,}36\text{ м/с}^2$.

6 Тіло вільно падає зі стану спокою з висоти 39,2 м. За який час тіло пройде перший метр свого шляху?

Дано:

• $h = 39{,}2\text{ м}$
• $s_{1} = 1\text{ м}$
• $v_{0} = 0\text{ м/с}$
• $g = 9{,}8\text{ м/с}^2$

Знайти:

• $t_{1} - ?$

Розв’язання:

Рівняння руху для тіла, що вільно падає без початкової швидкості, має вигляд:
$s = \dfrac{g \cdot t^2}{2}$

Для першого метра шляху ($s_{1} = 1\text{ м}$) формула запишеться так:
$s_{1} = \dfrac{g \cdot t_{1}^2}{2}$

Звідси знайдемо час $t_{1}$:
$t_{1}^2 = \dfrac{2 \cdot s_{1}}{g}$

$t_{1} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot s_{1}}{g}}$

Підставимо значення:
$t_{1} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1}{9{,}8}} = \sqrt{\dfrac{2}{9{,}8}} = \sqrt{\dfrac{1}{4{,}9}} \approx 0{,}45\text{ с}$

Відповідь: $0{,}45\text{ с}$.

7 Дівчинка кинула вертикально вгору м’яч і впіймала його через 2 с. На яку висоту піднявся м’яч і яка його початкова швидкість?

Дано:

• $t = 2\text{ с}$ (повний час польоту)
• $g = 9{,}8\text{ м/с}^2$

Знайти:

• $h_{\text{max}} - ?$
• $v_{0} - ?$

Розв’язання:

Оскільки час підйому дорівнює часу падіння, то час підйому до максимальної висоти становить:
$t_{\text{під}} = \dfrac{t}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\text{ с}$

У верхній точці траєкторії кінцева швидкість м’яча дорівнює нулю ($v = 0$). Рівняння швидкості для руху вгору:
$v = v_{0} - g \cdot t_{\text{під}}$

$0 = v_{0} - g \cdot t_{\text{під}}$

$v_{0} = g \cdot t_{\text{під}}$

$v_{0} = 9{,}8 \cdot 1 = 9{,}8\text{ м/с}$

Максимальну висоту підйому знайдемо за формулою:
$h_{\text{max}} = v_{0} \cdot t_{\text{під}} - \dfrac{g \cdot t_{\text{під}}^2}{2}$

$h_{\text{max}} = 9{,}8 \cdot 1 - \dfrac{9{,}8 \cdot 1^2}{2} = 9{,}8 - 4{,}9 = 4{,}9\text{ м}$

Відповідь: $4{,}9\text{ м}$; $9{,}8\text{ м/с}$.

8 На деякій ділянці шляху швидкість тіла, що вільно падає, збільшилася від 7 м/с до 21 м/с. Знайди час, протягом якого відбулася зміна швидкості, і шлях, пройдений тілом за цей час.

Дано:

• $v_{1} = 7\text{ м/с}$
• $v_{2} = 21\text{ м/с}$
• $g = 9{,}8\text{ м/с}^2$

Знайти:

• $t - ?$
• $s - ?$

Розв’язання:

Зміна швидкості під час вільного падіння описується формулою:
$v_{2} = v_{1} + g \cdot t$

Звідси знайдемо час $t$:
$t = \dfrac{v_{2} - v_{1}}{g}$

$t = \dfrac{21 - 7}{9{,}8} = \dfrac{14}{9{,}8} \approx 1{,}43\text{ с}$

Шлях, пройдений тілом за цей час, обчислимо за формулою без безпосереднього використання часу:
$s = \dfrac{v_{2}^2 - v_{1}^2}{2 \cdot g}$

$s = \dfrac{21^2 - 7^2}{2 \cdot 9{,}8} = \dfrac{441 - 49}{19{,}6} = \dfrac{392}{19{,}6} = 20\text{ м}$

Відповідь: $\approx 1{,}43\text{ с}$; $20\text{ м}$.

9 За останню секунду вільного падіння тіло пройшло половину свого шляху. З якої висоти і скільки часу падало тіло?

Дано:

• $t_{\text{ост}} = 1\text{ с}$
• $h_{\text{ост}} = 0{,}5 \cdot h$
• $g = 9{,}8\text{ м/с}^2$

Знайти:

• $h - ?$
• $t - ?$

Розв’язання:

Повна висота падіння тіла за час $t$ становить:
$h = \dfrac{g \cdot t^2}{2}$

Висота, яку тіло пройшло до початку останньої секунди (тобто за час $t - 1$):
$h_{t-1} = \dfrac{g \cdot (t - 1)^2}{2}$

Оскільки за останню секунду тіло пройшло половину всього шляху, то за попередній час воно також пройшло половину шляху:
$h_{t-1} = 0{,}5 \cdot h$

Запишемо це у вигляді рівняння:
$\dfrac{g \cdot (t - 1)^2}{2} = 0{,}5 \cdot \dfrac{g \cdot t^2}{2}$

Поділимо обидві частини рівняння на $\dfrac{g}{2}$:
$(t - 1)^2 = 0{,}5 \cdot t^2$

$t^2 - 2 \cdot t + 1 = 0{,}5 \cdot t^2$

$0{,}5 \cdot t^2 - 2 \cdot t + 1 = 0$

Помножимо рівняння на 2 для зручності:
$t^2 - 4 \cdot t + 2 = 0$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$

Корені рівняння:
$t = \dfrac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

Оскільки час руху має бути більшим за 1 секунду ($t > 1\text{ с}$), підходить лише корінь зі знаком ”+”:
$t = 2 + \sqrt{2} \approx 2 + 1{,}41 = 3{,}41\text{ с}$

Знайдемо повну висоту падіння $h$:
$h = \dfrac{9{,}8 \cdot 3{,}41^2}{2} \approx 4{,}9 \cdot 11{,}63 \approx 57\text{ м}$

Відповідь: $57\text{ м}$; $3{,}4\text{ с}$.

10 Тіло кинуто вертикально вгору зі швидкістю 30 м/с. Знайди, через який час тіло буде на висоті 25 м; максимальну висоту підняття; час піднімання і час падіння.

Дано:

• $v_0 = 30\text{ м/с}$
• $h = 25\text{ м}$
• $g = 9{,}8\text{ м/с}^2$

Знайти:

• $t_1, t_2 - ?$
• $H_{\text{max}} - ?$
• $t_{\text{під}} - ?$
• $t_{\text{пад}} - ?$

Розв’язання:

1. Для знаходження часу, через який тіло опиниться на висоті $h = 25\text{ м}$, скористаємося рівнянням руху для тіла, кинутого вертикально вгору:

$h = v_0 \cdot t - \dfrac{g \cdot t^2}{2}$

Підставимо відомі значення:

$25 = 30 \cdot t - \dfrac{9{,}8 \cdot t^2}{2}$

$25 = 30 \cdot t - 4{,}9 \cdot t^2$

$4{,}9 \cdot t^2 - 30 \cdot t + 25 = 0$

Знайдемо дискримінант квадратного рівняння:

$D = (-30)^2 - 4 \cdot 4{,}9 \cdot 25 = 900 - 490 = 410$

$\sqrt{D} = \sqrt{410} \approx 20{,}25$

Корені рівняння:

$t_1 = \dfrac{30 - 20{,}25}{2 \cdot 4{,}9} = \dfrac{9{,}75}{9{,}8} \approx 0{,}99\text{ с} \approx 1\text{ с}$

$t_2 = \dfrac{30 + 20{,}25}{2 \cdot 4{,}9} = \dfrac{50{,}25}{9{,}8} \approx 5{,}13\text{ с}$

Тіло двічі перебуватиме на цій висоті: перший раз на висоті 25 м під час руху вгору (через $\approx 1\text{ с}$ після кидка), другий раз — під час падіння вниз (через $5{,}13\text{ с}$ після кидка).

2. Час піднімання тіла до максимальної висоти знайдемо з умови, що у найвищій точці підйому кінцева швидкість тіла дорівнює нулю ($v = 0$):

$v = v_0 - g \cdot t_{\text{під}}$

$0 = 30 - 9{,}8 \cdot t_{\text{під}}$

$t_{\text{під}} = \dfrac{30}{9{,}8} \approx 3{,}06\text{ с} \approx 3\text{ с}$

3. Час падіння з максимальної висоти дорівнює часу піднімання (за відсутності опору повітря):

$t_{\text{пад}} = t_{\text{під}} \approx 3{,}06\text{ с} \approx 3\text{ с}$

4. Максимальну висоту підняття знайдемо за формулою:

$H_{\text{max}} = \dfrac{v_0^2}{2 \cdot g}$

$H_{\text{max}} = \dfrac{30^2}{2 \cdot 9{,}8} = \dfrac{900}{19{,}6} \approx 45{,}9\text{ м}$

Відповідь: тіло буде на висоті 25 м через $1\text{ с}$ та через $5{,}13\text{ с}$; максимальна висота підняття становить $45{,}9\text{ м}$; час піднімання та час падіння дорівнюють по $\approx 3\text{ с}$ (або $3{,}06\text{ с}$).

ОПРАЦЮЙ ІНФОРМАЦІЮ

Обери 5-7 різних небесних тіл у Сонячній системі (наприклад: Сонце, Місяць, Меркурій, Марс, Юпітер, Сатурн, Земля). Побудуй діаграми і графік: стовпчасту діаграму, що відображає прискорення вільного падіння (або твою вагу) на кожному з обраних небесних тіл; кругову діаграму, що показує відносні маси планет (без Сонця); графік залежності прискорення вільного падіння від маси планети (або від радіуса планети) для обраних тіл.