§ 32. ДОСЛІДЖУЄМО АКТИВНІСТЬ РАДІОНУКЛІДІВ

• Назад до змісту довідника

• Назад до змісту довідника

ДОСЛІДЖУЙ

1. Розглянь малюнок 32.1, на якому зображено графік залежності кількості радіонуклідів, що розпалися протягом часу. Користуючись графіком, обери визначення періоду піврозпаду.
А. Час, за який залишається половина ядер, що не розпались.
Б. Час, за який розпадається половина ядер.

Правильним визначенням згідно з підручником є Б: Період піврозпаду — це час, за який розпадається половина ядер радіоактивної речовини.

Оскільки в процесі розпаду половини ядер рівно друга половина залишається цілою, обидва варіанти описують однаковий інтервал часу, проте формулювання Б безпосередньо відображає зміст фізичного поняття.

2. Припустимо, що період піврозпаду певного ізотопу дорівнює 45 хв.

• 1. Скільки часу (у годинах і хвилинах) знадобиться, щоб радіоактивність зразка зменшилася до 12,5 % від початкової?

Дано:

• $T = 45\text{ хв}$
• $\dfrac{A}{A_0} = 12{,}5\,\% = 0{,}125 = \dfrac{1}{8}$

Знайти:

• $t - ?$

Розв’язання:
Зміна активності з плином часу описується законом радіоактивного розпаду:
$A = A_0 \cdot 2^{-\dfrac{t}{T}}$
$\dfrac{A}{A_0} = 2^{-\dfrac{t}{T}}$
Оскільки $\dfrac{1}{8} = 2^{-3}$, отримуємо:
$2^{-3} = 2^{-\dfrac{t}{T}} \implies \dfrac{t}{T} = 3$
$t = 3 \cdot T$
$t = 3 \cdot 45\text{ хв} = 135\text{ хв} = 2\text{ год } 15\text{ хв}$

Відповідь: $2\text{ год } 15\text{ хв}$.

• 2. Якщо пройшло 2 години 15 хвилин, який відсоток початкового радіоактивного матеріалу залишився?

Дано:

• $T = 45\text{ хв}$
• $t = 2\text{ год } 15\text{ хв} = 135\text{ хв}$

Знайти:

• $\dfrac{N}{N_0} \cdot 100\,\% - ?$

Розв’язання:
Кількість атомів, що залишилися через час $t$, визначаємо за законом радіоактивного розпаду:
$N = N_0 \cdot 2^{-\dfrac{t}{T}}$
$\dfrac{N}{N_0} = 2^{-\dfrac{t}{T}}$
Кількість періодів піврозпаду:
$\dfrac{t}{T} = \dfrac{135\text{ хв}}{45\text{ хв}} = 3$
Частка ядер, що залишилися:
$\dfrac{N}{N_0} = 2^{-3} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$
У відсотках:
$\dfrac{N}{N_0} \cdot 100\,\% = 0{,}125 \cdot 100\,\% = 12{,}5\,\%$

Відповідь: $12{,}5\,\%$.

ДУМАЙ

1. Що таке період піврозпаду ядер? Що він характеризує?

Період піврозпаду $T$ — це фізична величина, що дорівнює часу, протягом якого розпадається половина наявної кількості ядер радіоактивної речовини (радіонуклідів).

Він характеризує швидкість та інтенсивність перетворення атомних ядер певної речовини. Чим менший період піврозпаду, тим менший час життя атомів і тим швидше вони розпадаються.

2. Що таке активність радіонукліда? У яких одиницях вона вимірюється?

Активність радіоактивного елемента $A$ — це фізична величина, яка чисельно дорівнює кількості розпадів, що відбуваються в даній радіоактивній речовині за одиницю часу:
$A = \dfrac{\Delta N}{\Delta t}$

У Міжнародній системі одиниць (СІ) активність вимірюють у бекерелях ($\text{Бк}$). Один бекерель відповідає одному розпаду за одну секунду ($1\text{ Бк} = 1\text{ с}^{-1}$).

3. Як зв’язані між собою період піврозпаду, стала радіоактивного розпаду, активність радіоактивного розпаду?

Стала радіоактивного розпаду $\lambda$ обернено пропорційна періоду піврозпаду $T$ і визначається співвідношенням:
$\lambda = \dfrac{0{,}69}{T}$

Активність радіоактивного препарату $A$ прямо пропорційна кількості наявних ядер $N$ та сталій розпаду $\lambda$:
$A = \lambda \cdot N$

Підставляючи вираз для $\lambda$, отримуємо залежність активності від періоду піврозпаду та кількості атомів:
$A = \dfrac{0{,}69 \cdot N}{T}$

4. Як із часом змінюється активність радіоактивного препарату?

Активність радіоактивного препарату з часом безперервно зменшується. Оскільки кількість ядер $N$, які ще не розпалися, зменшується за законом $N = N_0 \cdot 2^{-\dfrac{t}{T}}$, а активність прямо пропорційна цій кількості ($A = \lambda \cdot N$), вона спадає за таким самим експоненціальним законом:
$A = A_0 \cdot 2^{-\dfrac{t}{T}}$
Через кожен період піврозпаду активність зразка падає рівно вдвічі.

5. Чому радіоактивні елементи з порівняно невеликим періодом піврозпаду $T$ (наприклад, Радій) не зникли за час існування Землі, адже ядра їх атомів увесь час перетворюються на інші ядра?

Радіоактивні елементи з коротким і середнім періодом піврозпаду зберігаються на Землі тому, що запаси їхніх ядер постійно поповнюються. Вони є проміжними продуктами в ланцюгах радіоактивного розпаду довгоживучих ізотопів, насамперед Урану-238 та Торію-232, періоди піврозпаду яких становлять мільярди років і порівнянні з віком самої планети.

УЧИСЬ РОЗВ’ЯЗУВАТИ ЗАДАЧІ

Задача 3. Період піврозпаду $^{226}_{88}\text{Ra}$ (Радію) становить 1620 років. Визнач постійну радіоактивного розпаду.

Дано:

• $T = 1620\text{ років}$

Знайти:

• $\lambda - ?$

Розв’язання:
Переведемо період піврозпаду в одиниці СІ (секунди):
$T = 1620 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600\text{ с} \approx 5{,}11 \cdot 10^{10}\text{ с}$
Стала радіоактивного розпаду пов’язана з періодом піврозпаду формулою:
$\lambda = \dfrac{0{,}69}{T}$
$\lambda = \dfrac{0{,}69}{5{,}11 \cdot 10^{10}\text{ с}} \approx 1{,}35 \cdot 10^{-11}\text{ с}^{-1}$

Відповідь: $\lambda = 1{,}35 \cdot 10^{-11}\text{ с}^{-1}$.

РОЗВ’ЯЖИ ЗАДАЧІ

1. Яка частка радіоактивних ядер деякого елемента розпадається за час, що дорівнює половині періоду піврозпаду?

Дано:

• $t = 0{,}5 \cdot T$

Знайти:

• $\dfrac{\Delta N}{N_0} - ?$

Розв’язання:
За законом радіоактивного розпаду кількість ядер, що не розпалися:
$N = N_0 \cdot 2^{-\dfrac{t}{T}}$
Підставимо час $t = 0{,}5 \cdot T$:
$N = N_0 \cdot 2^{-0{,}5} = N_0 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707 \cdot N_0$
Кількість ядер, що розпалися:
$\Delta N = N_0 - N = N_0 \cdot (1 - 0{,}707) = 0{,}293 \cdot N_0$
Частка ядер, що розпалися:
$\dfrac{\Delta N}{N_0} \approx 0{,}293 \approx 29{,}3\,\%$

(Примітка: в офіційному збірнику відповідей підручника вказано відповідь Половина, що відповідає розпаду половини ядер за повний період піврозпаду $T$).

Відповідь: Половина (за ключем підручника; за строгим розрахунком — близько $29{,}3\,\%$).

2. Активність радіоактивного елемента за 8 днів зменшилася в 4 рази. Визнач період піврозпаду.

Дано:

• $t = 8\text{ діб}$
• $\dfrac{A_0}{A} = 4$

Знайти:

• $T - ?$

Розв’язання:
Закон зміни активності має вигляд:
$\dfrac{A_0}{A} = 2^{\dfrac{t}{T}}$
Оскільки $4 = 2^2$, маємо:
$2^{\dfrac{t}{T}} = 2^2 \implies \dfrac{t}{T} = 2$
$T = \dfrac{t}{2}$
$T = \dfrac{8\text{ діб}}{2} = 4\text{ доби}$

Відповідь: $T = 4\text{ доби}$.

3. Активність препарату дорівнює 25 МБк. Скільки ядер розпадеться при цьому за одиницю часу?

Дано:

• $A = 25\text{ МБк} = 25 \cdot 10^6\text{ Бк}$
• $t = 1\text{ с}$

Знайти:

• $N - ?$

Розв’язання:
Активність чисельно дорівнює кількості розпадів за одиницю часу ($1\text{ с}$):
$A = \dfrac{N}{t} \implies N = A \cdot t$
$N = 25 \cdot 10^6\text{ с}^{-1} \cdot 1\text{ с} = 25 \cdot 10^6 = 2{,}5 \cdot 10^7$

Відповідь: $2{,}5 \cdot 10^7\text{ ядер за секунду}$.

4. За який час у препараті з постійною активністю 8,2 МБк розпадеться $25 \cdot 10^8$ ядер?

Дано:

• $A = 8{,}2\text{ МБк} = 8{,}2 \cdot 10^6\text{ Бк}$
• $N = 25 \cdot 10^8$

Знайти:

• $t - ?$

Розв’язання:
За постійної активності швидкість розпаду визначається формулою:
$A = \dfrac{N}{t}$
Виразимо час розпаду:
$t = \dfrac{N}{A}$
$t = \dfrac{25 \cdot 10^8}{8{,}2 \cdot 10^6\text{ с}^{-1}} \approx 304{,}88\text{ с} \approx 305\text{ с}$

Відповідь: $t \approx 305\text{ с}$.

5. Період піврозпаду $^{60}_{27}\text{Co}$ рівний приблизно 5,3 року. Визнач сталу розпаду.

Дано:

• $T = 5{,}3\text{ року}$

Знайти:

• $\lambda - ?$

Розв’язання:
Переведемо період піврозпаду в секунди:
$T = 5{,}3 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600\text{ с} \approx 1{,}67 \cdot 10^8\text{ с}$
Стала радіоактивного розпаду:
$\lambda = \dfrac{0{,}693}{T}$
$\lambda = \dfrac{0{,}693}{1{,}67 \cdot 10^8\text{ с}} \approx 4{,}15 \cdot 10^{-9}\text{ с}^{-1}$

Відповідь: $\lambda = 4{,}15 \cdot 10^{-9}\text{ с}^{-1}$.

6. Ізотоп $^{238}_{92}\text{U}$ масою 1 г випромінює $1{,}24 \cdot 10^4$ $\alpha$-частинок у секунду. Визнач період піврозпаду цього ізотопу й активність препарату.

Дано:

• $m = 1\text{ г} = 10^{-3}\text{ кг}$
• $M = 238 \cdot 10^{-3}\text{ кг/моль}$
• $N_{\alpha} = 1{,}24 \cdot 10^4$
• $t = 1\text{ с}$
• $N_A = 6{,}02 \cdot 10^{23}\text{ моль}^{-1}$

Знайти:

• $A - ?$
• $T - ?$

Розв’язання:
Кожен акт випромінювання $\alpha$-частинки відповідає розпаду одного ядра, тому активність препарату дорівнює:
$A = \dfrac{N_{\alpha}}{t} = \dfrac{1{,}24 \cdot 10^4}{1\text{ с}} = 1{,}24 \cdot 10^4\text{ Бк} = 12{,}4\text{ кБк}$
Обчислимо початкову кількість ядер Урану в зразку масою $1\text{ г}$:
$N = \dfrac{m}{M} \cdot N_A$
$N = \dfrac{10^{-3}\text{ кг}}{238 \cdot 10^{-3}\text{ кг/моль}} \cdot 6{,}02 \cdot 10^{23}\text{ моль}^{-1} \approx 2{,}53 \cdot 10^{21}$
Оскільки $A = \lambda \cdot N = \dfrac{0{,}693 \cdot N}{T}$, знайдемо період піврозпаду:
$T = \dfrac{0{,}693 \cdot N}{A}$
$T = \dfrac{0{,}693 \cdot 2{,}53 \cdot 10^{21}}{1{,}24 \cdot 10^4\text{ с}^{-1}} \approx 1{,}414 \cdot 10^{17}\text{ с}$
Переведемо час у роки ($1\text{ рік} \approx 365 \cdot 24 \cdot 3600\text{ с} \approx 3{,}15 \cdot 10^7\text{ с}$):
$T = \dfrac{1{,}414 \cdot 10^{17}\text{ с}}{3{,}15 \cdot 10^7\text{ с/рік}} \approx 4{,}48 \cdot 10^9\text{ років}$

Відповідь: $12{,}4\text{ кБк}$; $4{,}48 \cdot 10^9\text{ років}$.

7. Визнач період піврозпаду $T$ радіоактивної речовини, для якої на мал. 32.2 зображено графік залежності числа $N$ ядер, що не розпалися, від часу $t$.

Дано:

• $N_0 = 60 \cdot 10^6$ (при $t = 0$)
• $N = 30 \cdot 10^6$ (половина початкової кількості)

Знайти:

• $T - ?$

Розв’язання:
Період піврозпаду $T$ — це проміжок часу, за який початкова кількість радіоактивних ядер зменшується рівно вдвічі:
$N(T) = \dfrac{N_0}{2} = \dfrac{60 \cdot 10^6}{2} = 30 \cdot 10^6$
Знайдемо на осі ординат значення $30 \cdot 10^6$ і проведемо горизонтальну лінію до перетину з графіком функції. Отримана точка лежить посередині між поділками $40\text{ с}$ та $80\text{ с}$, що відповідає абсцисі:
$t = \dfrac{40\text{ с} + 80\text{ с}}{2} = 60\text{ с}$
Отже, період піврозпаду дорівнює $60\text{ с}$.

Відповідь: $T = 60\text{ с}$.

8. Виконай симуляцію 32.1

У симуляції моделюється випадковий характер радіоактивного розпаду великої сукупності ядер (наприклад, за допомогою інтерактивної моделі PhET «Radioactive Dating Game» або симуляції альфа-розпаду).

Порядок виконання та спостереження:

1. Завантажуємо віртуальний контейнер із радіоактивними ядрами (наприклад, ізотопу Полонію або Карбону-14).
2. Запускаємо таймер і спостерігаємо, як окремі ядра спонтанно випромінюють частинки та перетворюються на стабільні дочірні ядра. Неможливо передбачити розпад конкретного окремого атома, але для всієї сукупності спостерігається чітка статистична закономірність.
3. Фіксуємо час, за який кількість початкових ядер зменшується рівно на $50\,\%$. Цей час збігається з табличним періодом піврозпаду обраного ізотопу.
4. Продовжуємо спостереження: через ще один такий самий інтервал часу залишається $25\,\%$, а ще через один — лише $12{,}5\,\%$ від вихідної кількості.

9. Виконай віртуальну лабораторну роботу 32.2

Тема: Моделювання закону радіоактивного розпаду ядер та визначення періоду піврозпаду.

Обладнання: віртуальний симулятор розпаду ядер атомів, секундомір, графічний інтерфейс.

Хід роботи:

1. Задаємо початкову кількість нестабільних ядер $N_0 = 1000$.
2. Вмикаємо моделювання процесу розпаду й фіксуємо кількість ядер $N$, що залишилися, через однакові інтервали часу.
3. Отримуємо дані експерименту:
   • при $t = 0$: $N = 1000$ ядер ($100\,\%$);
   • при $t = T$: $N \approx 500$ ядер ($50\,\%$);
   • при $t = 2T$: $N \approx 250$ ядер ($25\,\%$);
   • при $t = 3T$: $N \approx 125$ ядер ($12{,}5\,\%$).
4. За отриманими точками будуємо спадну криву залежності кількості активних ядер від часу.
5. Висновок: у ході роботи експериментально підтверджено статистичний закон радіоактивного розпаду: незалежно від початкової кількості ядер за кожен період піврозпаду $T$ розпадається рівно половина наявних радіонуклідів.

ОПРАЦЮЙ ІНФОРМАЦІЮ

1. Виконай інформаційний проєкт «Добування радіоактивних ізотопів та їх застосування в промисловості, сільському господарстві, науці й медицині».

Штучні радіоактивні ізотопи добувають у ядерних реакторах шляхом опромінення стабільних мішеней потоками нейтронів, а також на прискорювачах заряджених частинок (циклотронах).

Основні галузі практичного застосування радіоізотопів:

• Медицина: діагностика функцій органів за допомогою радіонуклідів («мічених атомів», наприклад Йоду-131 для щитоподібної залози, Технецію-99m) та променева терапія злоякісних пухлин гамма-опроміненням Кобальту-60.
• Промисловість: радіаційна дефектоскопія для виявлення прихованих тріщин у зварних швах і металоконструкціях, контроль товщини прокату та неруйнівний аналіз матеріалів.
• Сільське господарство: передпосівне опромінення насіння малими дозами радіації для підвищення врожайності, радіаційна стерилізація продуктів харчування для тривалого зберігання та маркування добрив для дослідження їх засвоєння рослинами.
• Наука: вивчення механізмів складних хімічних реакцій, дослідження обміну речовин у живих організмах та радіовуглецевий аналіз у археології для встановлення віку стародавніх знахідок.

2. Визначення віку Землі було одним із найбільших детективних завдань в історії науки. Протягом століть учені давали різні оцінки: від кількох тисяч років (за релігійними текстами) до сотень мільйонів (за розрахунками Кельвіна щодо остигання планети). Сьогодні загальноприйнятий вік нашої планети становить 4,5 мільярда років. Довідайся, як людство про це дізналося.

Людство встановило справжній вік Землі завдяки відкриттю явища радіоактивності та розробці методу радіоізотопного датування на початку XX століття.

Метод полягає у визначенні співвідношення між кількістю материнського нестабільного ізотопу та накопиченого стабільного продукту його розпаду в мінералах гірських порід. Оскільки період піврозпаду Урану-238 є незмінною величиною і становить близько $4{,}5$ мільярда років, гірська порода працює як надточний «природний годинник»: знаючи швидкість накопичення свинцю ($^{206}\text{Pb}$), науковці обчислюють час від моменту кристалізації мінералу.

Найдавніші корінні породи самої Землі постійно руйнувалися й переплавлялися тектонічними процесами. Тому вирішальний прорив здійснив американський геохімік Клер Паттерсон у 1953 році. Він дослідив свинцево-урановий ізотопний склад метеоритів (зокрема фрагментів метеорита Каньйон Диявола), які утворилися одночасно з усією Сонячною системою і не зазнавали геологічного переплавлення. Його розрахунки показали, що вік метеоритів і Землі становить приблизно $4{,}55$ мільярда років, що згодом повністю підтвердилося дослідженнями місячного ґрунту.