§ 11. Найпростіші коливальні системи. Маятники. Математичний маятник. Пружинний маятник

• Назад до змісту

ПОМІРКУЙТЕ І ДАЙТЕ ВІДПОВІДЬ

1. На довгій нитці коливається мідна кулька. Чи зміниться період коливань маятника, якщо мідну кульку замінити залізною такого ж об’єму? Чому?

Період коливань маятника не зміниться.

Період коливань нитяного (математичного) маятника залежить лише від довжини підвісу та прискорення вільного падіння і зовсім не залежить від маси коливного тіла чи матеріалу, з якого воно виготовлене. Хоча залізо має іншу густину і маса кулі зміниться, довжина нитки залишається попередньою, тому час одного повного коливання не зазнає змін.

2. Довжину нитки математичного маятника вкоротили. Чи зміниться за цієї умови період коливань маятника? Відповідь обґрунтуйте.

Період коливань маятника зменшиться.

Період коливань математичного маятника прямо залежить від довжини нитки: чим коротша нитка, тим меншим є період коливань і тим швидше маятник здійснює кожне коливання. Тому вкорочення нитки призведе до зменшення періоду.

ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ

1. Під час коливань земної кори на сейсмограмі зафіксовано максимальне відхилення стрілки від положення рівноваги, що дорівнює 4 мм. Обчисліть амплітуду коливань стрілки сейсмографа в метрах.

Дано:

• $x_{\text{max}} = 4\text{ мм}$

Знайти:

• $A - ?$

Розв’язання:
Амплітуда коливань дорівнює модулю максимального зміщення тіла від положення рівноваги:
$A = x_{\text{max}}$
Переведемо числове значення в систему СІ:
$A = 4\text{ мм} = \dfrac{4}{1000}\text{ м} = 0{,}004\text{ м}$

Відповідь: $A = 0{,}004\text{ м}$.

2. Амплітуда коливань математичного маятника дорівнює 3 см. Визначте, який шлях проходить кулька маятника за чотири періоди.

Дано:

• $A = 3\text{ см}$
• $N = 4$

Знайти:

• $l - ?$

Розв’язання:
За один період (одне повне коливання) кулька долає шлях, рівний чотирьом амплітудам:
$l_1 = 4 \cdot A$
За чотири періоди повний шлях дорівнює:
$l = N \cdot l_1 = 4 \cdot 4 \cdot A = 16 \cdot A$
Підставимо значення у формулу:
$l = 16 \cdot 3\text{ см} = 48\text{ см}$

Відповідь: $l = 48\text{ см}$.

3. Визначте період та частоту коливань маятника метронома, якщо за одну хвилину він здійснює 60 повних коливань.

Дано:

• $t = 1\text{ хв} = 60\text{ с}$
• $N = 60$

Знайти:

• $T - ?$
• $\nu - ?$

Розв’язання:
Період коливань знайдемо як відношення часу руху до числа здійснених коливань:
$T = \dfrac{t}{N}$
$T = \dfrac{60\text{ с}}{60} = 1\text{ с}$
Частота коливань визначається кількістю коливань за одиницю часу:
$\nu = \dfrac{N}{t}$
$\nu = \dfrac{60}{60\text{ с}} = 1\text{ с}^{-1} = 1\text{ Гц}$

Відповідь: $T = 1\text{ с}$, $\nu = 1\text{ Гц}$.

4. Частота коливань математичного маятника дорівнює 8 Гц. Визначте період коливань маятника. Скільки коливань здійснить цей маятник за 2 хвилини?

Дано:

• $\nu = 8\text{ Гц}$
• $t = 2\text{ хв} = 120\text{ с}$

Знайти:

• $T - ?$
• $N - ?$

Розв’язання:
Період коливань є оберненою величиною до частоти:
$T = \dfrac{1}{\nu}$
$T = \dfrac{1}{8\text{ Гц}} = 0{,}125\text{ с}$
Кількість коливань виразимо з визначення частоти $\nu = \dfrac{N}{t}$:
$N = \nu \cdot t$
$N = 8\,\dfrac{1}{\text{с}} \cdot 120\text{ с} = 960$

Відповідь: $T = 0{,}125\text{ с}$; $N = 960$.

5. У пружинному маятнику алюмінієву пружину замінили залізною таких самих розмірів. Чи зміниться період коливань маятника? Частота? Відповіді обґрунтуйте.

Період коливань маятника зменшиться, а частота коливань збільшиться.

Залізо має значно вищий модуль пружності, ніж алюміній, тому за однакових геометричних розмірів залізна пружина володіє більшою жорсткістю. Період коливань пружинного маятника обернено залежить від жорсткості пружини: що більша пружність, то менший період коливань тіла. Частота коливань є величиною, оберненою до періоду, тому зі зменшенням періоду вона обов’язково зросте.

6. Однією з найдосконаліших коливальних систем у природі є серце, яке у тварин скорочується по-різному. Порівняйте частоту пульсу кита та синички, якщо в кита серце здійснює 7 скорочень за 1 хвилину, а в синички — 1200 скорочень за той самий час.

Дано:

• $N_1 = 7$
• $t_1 = 1\text{ хв} = 60\text{ с}$
• $N_2 = 1200$
• $t_2 = 1\text{ хв} = 60\text{ с}$

Знайти:

• $\nu_1 - ?$
• $\nu_2 - ?$
• $\dfrac{\nu_2}{\nu_1} - ?$

Розв’язання:
Визначимо частоту скорочень серця кита:
$\nu_1 = \dfrac{N_1}{t_1} = \dfrac{7}{60\text{ с}} \approx 0{,}12\text{ Гц}$
Визначимо частоту скорочень серця синички:
$\nu_2 = \dfrac{N_2}{t_2} = \dfrac{1200}{60\text{ с}} = 20\text{ Гц}$
Порівняємо отримані частоти:
$\dfrac{\nu_2}{\nu_1} = \dfrac{\dfrac{N_2}{t}}{\dfrac{N_1}{t}} = \dfrac{N_2}{N_1}$
$\dfrac{\nu_2}{\nu_1} = \dfrac{1200}{7} \approx 171{,}4$

Відповідь: $\nu_1 \approx 0{,}12\text{ Гц}$; $\nu_2 = 20\text{ Гц}$; частота пульсу синички приблизно в $171{,}4$ раза перевищує частоту пульсу кита.

7. Те, що Земля обертається навколо своєї осі, вдалося довести за допомогою маятника, який у 1851 році створив Жан-Бернар-Леон Фуко (маятника Фуко). Використовуючи різні джерела інформації, дізнайтеся більше про цей винахід.

Маятник Фуко являє собою масивне тіло на дуже довгому підвісі, яке зберігає незмінну площину своїх коливань відносно віддалених зір. Французький учений Леон Фуко підвісив у паризькому Пантеоні кулю масою $28\text{ кг}$ на тросі завдовжки $67\text{ м}$. Під час коливань площина руху вільного маятника залишається нерухомою в просторі, проте відносно поверхні Землі вона повільно повертається, що й слугує прямим експериментальним доказом добового обертання нашої планети навколо своєї осі.

ВИСНОВОК ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ № 2

Проаналізуйте результати експерименту. Зробіть висновок (що саме досліджували під час виконання лабораторної роботи; значення якої величини обчислювали та які результати отримали; чи можна вважати результати експерименту абсолютно точними; чи залежить період коливань нитяного маятника від амплітуди коливань, маси кульки та довжини підвісу).

Під час лабораторної роботи було досліджено рух нитяного маятника та експериментально перевірено фактори, які впливають на його період.

Період коливань маятника обчислювали за формулою:
$T = \dfrac{t}{N}$
де $t$ — виміряний час спостереження, $N$ — число здійснених повних коливань.

Результати дослідів показали наступне:

• За малих кутів відхилення збільшення амплітуди коливань з $3\text{ см}$ до $6\text{ см}$ не впливає на період коливань маятника.
• Заміна кульки на важчу за збереження довжини підвісу також не змінює значення періоду, тобто період не залежить від маси вантажу.
• Зміна довжини нитки суттєво впливає на тривалість коливання: зі збільшенням довжини підвісу період зростає, що підтверджує пряму залежність періоду від квадратного кореня з довжини нитки.

Отримані значення не можна вважати абсолютно точними через наявність похибок вимірювання секундоміром, час реакції людини, а також дію сили опору повітря.

ДОДАТКОВЕ ЗАВДАННЯ

Що, на вашу думку, може вплинути на точність маятникового годинника? Відповідь обґрунтуйте.

На точність ходу маятникового годинника впливають будь-які чинники, здатні змінити ефективну довжину маятника l, прискорення вільного падіння $g$ або збільшити опір рухові:

• Температурні коливання: за нагрівання металевий стрижень маятника видовжується внаслідок теплового розширення, період коливань зростає, і годинник відстає; під час охолодження стрижень коротшає, і прилад поспішає.
• Зміна географічної широти або підйом на висоту: значення $g$ зменшується з висотою і змінюється від екватора до полюсів, що змінює період коливань.
• Зміна вологості й атмосферного тиску: коливання густини повітря змінюють виштовхувальну силу та опір середовища.
• Механічне тертя й знос деталей підвісу: збільшення тертя гальмує рух та викривляє регулярність коливальних циклів.