§ 28. Побудова зображень у лінзах. Деякі оптичні пристрої. Формула тонкої лінзи

• Назад до змісту

ПИТАННЯ ДЛЯ ОБГОВОРЕННЯ

На заставці продемонстровано результат досліду щодо отримання зображення полум’я свічки на екрані за допомогою лінзи. Уявіть, що ви повільно відсуваєте лінзу від свічки. Що буде із зображенням на екрані: стане більшим чи меншим? залишиться перевернутим чи виправиться? залишиться чітким чи розпливеться? Що треба зробити (пересунути лінзу чи екран), щоб зображення стало таким самим за розміром, як справжня свічка?

Якщо повільно відсувати лінзу від свічки, зображення на нерухомому екрані відразу втратить чіткість і розпливеться, оскільки площина чіткого зображення почне наближатися до лінзи. Якщо ж щоразу підсовувати екран ближче до лінзи для наведення різкості, то ми побачимо, що розмір зображення полум’я поступово зменшується, проте воно залишається перевернутим і дійсним, доки свічка перебуває далі фокусної відстані.

Щоб отримати чітке зображення полум’я точно в натуральну величину, необхідно розташувати свічку в подвійному фокусі лінзи на відстані $d = 2F$, а екран пересунути на таку саму відстань з іншого боку лінзи ($f = 2F$).

Чи можна розглядати атмосферу Землі як велетенську лінзу?

Ні, розглядати атмосферу як повноцінну велетенську лінзу для спостереження за далеким космосом не можна. По-перше, атмосфера є надзвичайно тонкою плівкою порівняно з радіусом планети, а оптична неоднорідність повітря, турбулентність, конвекційні потоки та хмари неминуче спотворюють і розмивають світлові пучки. По-друге, через кривизну сферичних шарів атмосфера діє швидше як дуже слабка розсіювальна оболонка або складна викривлена призма для дотичних променів, яка розсіює промені та створює колосальні аберації, а не фокусує паралельне світло від зірок у єдину чітку точку.

Яким буде зображення, якщо предмет розташувати в подвійному фокусі лінзи? Перевірте своє припущення побудовою.

Якщо предмет розташований у подвійному фокусі збиральної лінзи ($d = 2F$), його зображення буде дійсним, перевернутим і точно таким самим за розміром, як сам предмет ($H = h$).

Для побудови зображення точки $B$ предмета пускаємо перший промінь паралельно головній оптичній осі, який після заломлення проходить через фокус $F$, а другий промінь спрямовуємо через оптичний центр $O$ без заломлення. Обидва промені перетинаються з іншого боку лінзи на такій самій відстані від неї — рівно в подвійному фокусі ($f = 2F$), утворюючи точку $B_1$, перпендикуляр від якої до осі дає точку $A_1$.

З’ясуйте, чи отримаємо ми зображення, якщо розташуємо предмет у фокусі розсіювальної лінзи.

Так, у розсіювальній лінзі зображення обов’язково утвориться за будь-якого положення предмета, зокрема й у фокальній площині.

Промінь, що йде паралельно осі, заломлюється так, що його продовження проходить через передній фокус, а промінь крізь оптичний центр прямує прямо. Перетин заломленого променя та продовження першого показує, що зображення буде уявним, прямим, зменшеним і розташованим між лінзою та її фокусом (на відстані половини фокусної відстані від лінзи).

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Які промені зручно використовувати для побудови зображення, одержуваного за допомогою лінзи?

Для побудови зображень зазвичай обирають два з трьох так званих «зручних променів»: промінь, що проходить через оптичний центр лінзи й не заломлюється; промінь, паралельний головній оптичній осі, який після заломлення проходить крізь фокус (для збиральної лінзи) або продовження якого проходить через фокус (для розсіювальної); промінь, який проходить через фокус (або напрямлений на нього), після заломлення поширюється паралельно головній оптичній осі.

2. Чи можна одержати дійсне зображення за допомогою розсіювальної лінзи? уявне зображення — за допомогою збиральної лінзи?

За допомогою розсіювальної лінзи отримати дійсне зображення дійсного предмета неможливо, вона завжди дає тільки уявне, зменшене та пряме зображення. За допомогою збиральної лінзи отримати уявне зображення цілком можливо — воно утворюється тоді, коли предмет розташований ближче до лінзи, ніж її головний фокус ($d < F$), що використовується, наприклад, у лупі.

3. Яке зображення — дійсне чи уявне — можна побачити на екрані?

На екрані можна зафіксувати виключно дійсне зображення, оскільки воно утворюється перетином самих світлових променів, які передають реальну світлову енергію на поверхню екрана. Уявне зображення на екрані отримати не можна, оскільки воно формується лише уявним перетином продовжень розбіжних променів і сприймається безпосередньо оком спостерігача.

4. Як за видом зображення визначити, збиральною чи розсіювальною є лінза?

Якщо зображення є дійсним або збільшеним прямим, то лінза обов’язково є збиральною, оскільки тільки вона здатна фокусувати промені та давати збільшення. Якщо ж зображення за будь-якої відстані до предмета залишається уявним, прямим і обов’язково зменшеним, то використана лінза є розсіювальною.

5. Назвіть оптичні пристрої, в яких є лінзи.

Лінзи входять до складу різноманітних оптичних приладів: фотоапаратів, відеокамер, смартфонів, мікроскопів, телескопів, біноклів, мультимедійних проєкторів, луп, а також окулярів і контактних лінз для корекції зору.

6. Які фізичні величини пов’язує формула тонкої лінзи? Яких правил слід дотримуватися, застосовуючи цю формулу?

Формула тонкої лінзи $\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}$ пов’язує фокусну відстань лінзи $F$, відстань від предмета до лінзи $d$ та відстань від лінзи до зображення $f$.

Застосовуючи цю формулу, слід дотримуватися правила знаків: фокусна відстань $F$ є додатною ($F > 0$) для збиральної лінзи та від’ємною ($F < 0$) для розсіювальної; відстань $f$ беруть зі знаком «+», якщо зображення є дійсним, і зі знаком «–», якщо воно є уявним; відстань $d$ для реального джерела світла є додатною.

ВПРАВА № 28

1. Для кожного з випадків на рис. 1, а, б побудуйте зображення предмета АВ у збиральній лінзі. Схарактеризуйте зображення.

Пояснення до побудови:

1. Випадок на рис. 1, а ($d < F$ — режим лупи):

   • Фокусна відстань лінзи становить $F = 4\text{ клітинки}$, а предмет $AB$ заввишки $h = 2\text{ клітинки}$ розташований ліворуч на відстані $d = 2\text{ клітинки}$ від лінзи ($d < F$, всередині фокусу).
   • Перший зручний промінь пускаємо від точки $A$ праворуч паралельно головній оптичній осі (червоний). Заломившись у лінзі, він проходить через правий головний фокус $F$.
   • Другий зручний промінь спрямовуємо від точки $A$ крізь оптичний центр лінзи $O$ (синій) — він проходить без заломлення.
   • За лінзою заломлені промені розходяться, але їхні пунктирні уявні продовження назад перетинаються в точці $A_1$ (над лівим фокусом $F$ на відстані $f = 4\text{ клітинки}$ від лінзи та заввишки $H = 4\text{ клітинки}$). Опустивши перпендикуляр на вісь, одержуємо точку $B_1$.
   • Характеристика зображення: зображення $A_1B_1$ є уявним, прямим, збільшеним у 2 рази ($\Gamma = \dfrac{f}{d} = \dfrac{4}{2} = 2$).

2. Випадок на рис. 1, б ($F < d < 2F$ — режим проектора):

   • Фокусна відстань лінзи $F = 2\text{ клітинки}$. Предмет $AB$ розташований праворуч від лінзи на відстані $d = 3\text{ клітинки}$ ($F < d < 2F$), причому перетинає вісь: основа $A$ лежить на $2\text{ клітинки}$ нижче осі, а вістря $B$ — на $3\text{ клітинки}$ вище осі (загальна висота предмета $h = 5\text{ клітинок}$).
   • Побудова для точки $B$: промінь паралельно осі (червоний) після лінзи йде через лівий фокус $F$; промінь через центр $O$ (синій) перетинає його ліворуч у точці $B_1$ (на відстані $6\text{ клітинок}$ від лінзи та на $6\text{ клітинок}$ нижче осі).
   • Побудова для точки $A$: промінь паралельно осі (фіолетовий) після лінзи йде через лівий фокус $F$; промінь через центр $O$ (синій) перетинає його у точці $A_1$ (на відстані $6\text{ клітинок}$ від лінзи та на $4\text{ клітинки}$ вище осі).
   • З’єднавши точки $A_1$ і $B_1$ зі стрілкою до $B_1$, отримуємо повне зображення заввишки $H = 10\text{ клітинок}$ ($H = 2h$).
   • Характеристика зображення: зображення $A_1B_1$ є дійсним, перевернутим, збільшеним у 2 рази ($\Gamma = \dfrac{f}{d} = \dfrac{6}{3} = 2$).

2. Оптична сила лінзи $+5\text{ дптр}$. На якій відстані від лінзи треба розташувати свічку, щоб одержати зображення її полум’я в натуральну величину?

Остаточно одержуємо:
$d = \dfrac{2}{D}$

Перевіримо одиницю шуканої величини:
$[d] = \dfrac{1}{\text{дптр}} = \dfrac{1}{\text{м}^{-1}} = \text{м}$

Обчислення:
$d = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\text{ (м)} = 40\text{ см}$

Відповідь: $d = 40\text{ см}$.

3. Предмет розташований на відстані $1\text{ м}$ від лінзи. Уявне зображення предмета розташоване на відстані $25\text{ см}$ від лінзи. Визначте оптичну силу лінзи. Яка це лінза — збиральна чи розсіювальна?

Остаточно одержуємо:
$D = \dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{\lvert f \rvert}$

Перевіримо одиницю шуканої величини:
$[D] = \dfrac{1}{\text{м}} = \text{дптр}$

Обчислення:
$D = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{0{,}25} = 1 - 4 = -3\text{ (дптр)}$

Оскільки $D < 0$, дана лінза є розсіювальною.

Відповідь: $D = -3\text{ дптр}$; лінза розсіювальна.

4. На аркуш із друкованим текстом потрапила крапля прозорого клею. Чому літери під краплею клею здаються більшими, ніж сусідні?

Крапля прозорого клею на поверхні паперу набуває опуклої форми, тобто діє як плоско-опукла збиральна лінза з дуже малою фокусною відстанню. Оскільки товщина краплі мала, друковані літери на папері розташовані практично впритул до її поверхні, тобто між лінзою та її фокусом ($d < F$). У такому положенні збиральна лінза працює як звичайна лупа, формуючи уявне, пряме і збільшене зображення друкованих знаків.

5. За допомогою лінзи отримали чітке зображення предмета на екрані. Визначте: 1) оптичну силу лінзи, якщо предмет розташований на відстані $60\text{ см}$ від лінзи, а відстань між предметом і екраном дорівнює $90\text{ см}$; 2) висоту предмета, якщо висота його зображення становить $5\text{ см}$.

Остаточно одержуємо:
$D = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}$
$h = H \cdot \dfrac{d}{f}$

Перевіримо одиниці шуканих величин:
$[D] = \dfrac{1}{\text{м}} = \text{дптр}$
$[h] = \text{см} \cdot \dfrac{\text{см}}{\text{см}} = \text{см}$

Обчислення:
$D = \dfrac{1}{0{,}6} + \dfrac{1}{0{,}3} = \dfrac{10}{6} + \dfrac{10}{3} = \dfrac{10 + 20}{6} = \dfrac{30}{6} = 5\text{ (дптр)}$
$h = 5 \cdot \dfrac{60}{30} = 5 \cdot 2 = 10\text{ (см)}$

Відповідь: 1) $D = 5\text{ дптр}$; 2) $h = 10\text{ см}$.

6. Перенесіть рис. 2, а–в до зошита й для кожного випадку визначте розташування оптичного центра та фокусів лінзи, тип лінзи, вид зображення. На рис. 2 використано такі позначення: $KN$ — головна оптична вісь; $S$ — світна точка; $S_1$ — зображення точки $S$.

Алгоритм та пояснення до побудови:

Для розв’язання спираємося на дві ключові оптичні закономірності:

• Промінь, що проходить крізь оптичний центр лінзи $O$, не заломлюється. Тому пряма лінія $SS_1$, що сполучає світну точку $S$ та її зображення $S_1$, обов’язково проходить крізь центр $O$. Точка її перетину з головною оптичною віссю $KN$ задає положення оптичного центра $O$ лінзи.
• Промінь, що йде від точки $S$ паралельно головній оптичній осі, після заломлення в лінзі (або його уявне продовження) проходить через головний фокус $F$ та точку зображення $S_1$.

1. Випадок на рис. 2, а:

   • Точки $S$ і $S_1$ розташовані по різні боки від осі $KN$. Пряма $SS_1$ перетинає вісь рівно посередині між ними — у точці $O$. Проводимо площину лінзи перпендикулярно до осі.
   • Промінь від $S$ паралельно осі падає на лінзу, заломлюється до осі і йде через $S_1$, перетинаючи вісь праворуч у головному фокусі $F$ ($F = 1\text{ клітинка}$).
   • Тип лінзи: збиральна; вид зображення: дійсне, перевернуте.

2. Випадок на рис. 2, б:

   • Точки $S$ і $S_1$ розташовані вище від осі $KN$, причому зображення $S_1$ лежить далі від осі, ніж точка $S$. Пряма $S_1S$ перетинає вісь праворуч від точок — це оптичний центр $O$.
   • Промінь від $S$ паралельно осі йде в бік лінзи, заломлюється до осі і перетинає її праворуч у фокусі $F$ ($F = 4\text{ клітинки}$). Уявне продовження цього заломленого променя назад проходить через $S_1$.
   • Тип лінзи: збиральна ($d = 2 < F$, лупа); вид зображення: уявне, пряме, збільшене.

3. Випадок на рис. 2, в:

   • Точки $S$ і $S_1$ розташовані нижче від осі $KN$, причому зображення $S_1$ лежить ближче до осі, ніж точка $S$. Пряма $SS_1$ перетинає вісь ліворуч від точок — це оптичний центр $O$.
   • Промінь від $S$ паралельно осі ліворуч падає на лінзу і заломлюється, відхиляючись від осі. Уявне продовження заломленого променя назад проходить через зображення $S_1$ та перетинає вісь у фокусі $F$ ($F = 4\text{ клітинки}$).
   • Тип лінзи: розсіювальна; вид зображення: уявне, пряме, зменшене.

7. Визначте оптичну силу лупи, яка дає збільшене в 6 разів зображення, розташоване на відстані $20\text{ см}$ від лупи.

Остаточно одержуємо:
$D = \dfrac{\Gamma - 1}{\lvert f \rvert}$

Перевіримо одиницю шуканої величини:
$[D] = \dfrac{1}{\text{м}} = \text{дптр}$

Обчислення:
$D = \dfrac{6 - 1}{0{,}2} = \dfrac{5}{0{,}2} = 25\text{ (дптр)}$

Відповідь: $D = 25\text{ дптр}$.

8. Як змінюється та в якому напрямку рухається зображення предмета, якщо предмет рухається від нескінченності до лінзи?

Якщо лінза є збиральною, то коли предмет віддалений у нескінченність, його зображення розташоване в головному фокусі $F$ і є точковим. У міру наближення предмета до лінзи дійсне перевернуте зображення віддаляється від фокуса в напрямку від лінзи й поступово збільшується: при $d = 2F$ воно досягає подвійного фокуса і зрівнюється за розміром із предметом, а при наближенні до фокуса $F$ віддаляється в нескінченність. Коли предмет перетинає фокус і рухається від $F$ до лінзи, зображення стає уявним, прямим і рухається від далекої нескінченності до самої лінзи, поступово зменшуючись від велетенського до вихідного розміру предмета.

Якщо лінза є розсіювальною, то під час руху предмета від нескінченності до лінзи уявне пряме зображення весь час рухається в тому самому напрямку — від фокуса $F$ до оптичного центра лінзи, поступово збільшуючись від нуля до справжніх розмірів предмета.

9. Скористайтеся додатковими джерелами інформації та дізнайтеся історію фотоапарата. Створіть комп’ютерну презентацію.

Історія фотоапарата розпочалася з камери-обскури — простої затемненої кімнати або коробки з маленьким отвором у стінці, через який на протилежній стіні виникало перевернуте зображення предметів. Справжній переворот стався в XIX столітті: у 1826 році Жозеф Нісефор Ньєпс створив першу в світі стійку геліографію, а Луї Дагер невдовзі розробив практичний метод дагеротипії на срібних пластинах.

Наприкінці XIX століття завдяки винаходу Джорджа Істмена з’явилася фотоплівка та масові камери Kodak. Упродовж XX століття оптика досягла найвищої досконалості у плівкових дзеркальних фотоапаратах, а наприкінці століття цифрові світлочутливі матриці витіснили плівку, зробивши якісні фотографії доступними кожній людині у сучасному смартфоні.