Досліджуємо електричні кола із мішаним з’єднанням провідників - Засєкіна

• Назад до змісту

Думай

1. З якою метою застосовують еквівалентні схеми?

Еквівалентні схеми застосовують для розрахунку електричних кіл із мішаним з’єднанням. Їх використовують, щоб спростити складну схему, поступово зменшуючи кількість опорів до одержання схеми з одним загальним опором.

2. Як зміниться опір електричного кола, якщо до будь-якої ланки кола підключити ще один резистор: а) послідовно; б) паралельно?

а) Якщо підключити резистор послідовно, загальний опір кола збільшиться, оскільки при такому з’єднанні опори додаються ($R = R_1 + R_2$).

б) Якщо підключити резистор паралельно, загальний опір кола зменшиться, оскільки загальний опір при паралельному з’єднанні завжди менший за найменший опір окремого провідника.

3. Як три однакові опори з’єднати різноманітними способами? Накресли схеми цих з’єднань.

Існує чотири можливі варіанти з’єднання трьох резисторів:

1. Послідовне з’єднання: усі три резистори підключені один за одним у ланцюг.

2. Паралельне з’єднання: початки всіх трьох резисторів з’єднані в одній точці, а кінці — в іншій.

3. Мішане (два паралельно + один послідовно): два резистори з’єднані між собою паралельно, а третій приєднаний до цієї ділянки послідовно.

4. Мішане (два послідовно + один паралельно): два резистори з’єднані послідовно, а третій приєднаний паралельно до цієї групи з двох резисторів.

Дій

РОЗВ’ЯЖИ ЗАДАЧІ

1. Чотири провідники з опором по 1,5 Ом кожен необхідно з’єднати так, щоб отримати опір 2 Ом. Як це здійснити?

Дано:

• $R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = 1{,}5\text{ Ом}$
• $R_{\text{заг}} = 2\text{ Ом}$

Знайти:

• Схему з’єднання

Розв’язання:

Щоб отримати 2 Ом, потрібно з’єднати три резистори паралельно, а четвертий приєднати до них послідовно.

Розрахуємо опір такої ділянки:

Опір трьох паралельних резисторів:

$R_{\text{пар}} = \dfrac{R_1}{3}$

$R_{\text{пар}} = \dfrac{1{,}5}{3} = 0{,}5\text{ Ом}$

Загальний опір кола (додаємо четвертий послідовно):

$R_{\text{заг}} = R_{\text{пар}} + R_4$

$R_{\text{заг}} = 0{,}5 + 1{,}5 = 2\text{ Ом}$

Відповідь: Три провідники з’єднати паралельно, а четвертий підключити до них послідовно.

2. Два провідника за послідовного з’єднання мають опір 27 Ом, за паралельного з’єднання — 6 Ом. Визнач опір цих провідників.

Дано:

• $R_{\text{пос}} = 27\text{ Ом}$
• $R_{\text{пар}} = 6\text{ Ом}$

Знайти:

• $R_1 - ?$
• $R_2 - ?$

Розв’язання:

При послідовному з’єднанні:

$R_1 + R_2 = 27$.

При паралельному з’єднанні:

$\dfrac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = 6$.

Підставимо перше рівняння у друге:

$\dfrac{R_1 \cdot R_2}{27} = 6$

$R_1 \cdot R_2 = 162$

З першого рівняння виразимо $R_2 = 27 - R_1$ і підставимо у вираз добутку:

$R_1 \cdot (27 - R_1) = 162$

$27R_1 - R_1^2 - 162 = 0$

$R_1^2 - 27R_1 + 162 = 0$

Розв’яжемо квадратне рівняння:

$D = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 162 = 729 - 648 = 81$

$R_1 = \dfrac{27 \pm \sqrt{81}}{2} = \dfrac{27 \pm 9}{2}$

$R_{1} = \dfrac{36}{2} = 18\text{ Ом}$

або

$R_{1} = \dfrac{18}{2} = 9\text{ Ом}$

Тоді $R_2 = 27 - 18 = 9\text{ Ом}$.

Відповідь: Опори провідників дорівнюють 18 Ом та 9 Ом.

3. Який опір можна одержати за допомогою трьох резисторів опором по 2 Ом кожен?

Можна отримати чотири варіанти опору:

1. Усі три послідовно:

   $R = 2 + 2 + 2 = 6\text{ Ом}$

2. Усі три паралельно:

   $R = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67\text{ Ом}$

3. Два паралельно, один послідовно до них:

   $R = \dfrac{2}{2} + 2 = 1 + 2 = 3\text{ Ом}$

4. Два послідовно, третій паралельно до цієї пари:

   $R = \dfrac{(2+2) \cdot 2}{(2+2) + 2} = \dfrac{8}{6} \approx 1{,}33\text{ Ом}$

Відповідь: 6 Ом; 0,67 Ом; 3 Ом; 1,33 Ом.

4. Як зміняться покази приладів, якщо повзунок реостата посунути вліво (мал. 29.4)?

Якщо повзунок реостата рухати вліво, активна частина дроту реостата зменшується, тому опір реостата зменшується.

• Загальний опір всього кола зменшиться, тому сила струму в колі зросте. Амперметр $A_3$ покаже більшу силу струму.
• Через зростання загального струму збільшиться напруга на послідовному резисторі (що біля $A_3$), тому напруга на паралельній ділянці (де $A_1$ і $A_2$) зменшиться. Оскільки опір гілки з $A_2$ не змінився, а напруга впала, то амперметр $A_2$ покаже меншу силу струму.
• Оскільки загальний струм ($A_3$) зріс, а струм у нижній гілці ($A_2$) впав, то весь “додатковий” струм пішов у верхню гілку. Амперметр $A_1$ покаже значне збільшення сили струму.

Відповідь: $A_1$ — збільшиться, $A_2$ — зменшиться, $A_3$ — збільшиться.

5. Яким буде загальний опір (мал. 29.5), якщо струм підвести до точок А і С? До точок А і D?

Дано:

• $R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = 10\text{ Ом}$

Знайти:

• $R_{AC} - ?$
• $R_{AD} - ?$

Розв’язання:

Варіант 1 (Точки А і С):

Коло розбивається на дві однакові паралельні гілки (шлях $ABC$ і шлях $ADC$).

Опір кожної гілки (два резистори послідовно):

$R_{\text{гілки}} = 10 + 10 = 20\text{ Ом}$

Загальний опір (дві гілки по 20 Ом паралельно):

$R_{AC} = \dfrac{20}{2} = 10\text{ Ом}$

Варіант 2 (Точки А і D):

Коло складається з двох паралельних гілок: одна — це прямий резистор $AD$, інша — шлях через три резистори $ABCD$.

1. Опір довгої гілки ($ABCD$):

   $R_{ABCD} = 10 + 10 + 10 = 30\text{ Ом}$

2. Опір прямої гілки ($AD$):

   $R_{AD\_part} = 10\text{ Ом}$

3. Загальний опір при паралельному з’єднанні 10 Ом і 30 Ом:

   $R_{AD} = \dfrac{10 \cdot 30}{10 + 30} = \dfrac{300}{40} = 7{,}5\text{ Ом}$

Відповідь: При підключенні до А і С опір 10 Ом; при підключенні до А і D опір 7,5 Ом.

ВИКОНАЙ ДОСЛІДЖЕННЯ

Накресли схему електричного кола, що містить джерело струму, електричну лампу відповідної напруги і три вимикачі, увімкнені в коло так, щоб унаслідок замикання окремо кожного з них лампа світилася. Врахуй, що перш ніж замикати другий вимикач, потрібно розмикати перший. Склади і перевір схему такого кола.

Де використовується цей спосіб з’єднання вимикачів?

Такий спосіб (паралельне з’єднання вимикачів для керування одним споживачем) використовується там, де потрібно вмикати прилад із різних місць:

• Громадський транспорт: кнопки «Стоп» або виклику водія в автобусах/тролейбусах (пасажир натискає будь-яку кнопку в салоні, і у водія загоряється сигнал).
• Сигналізація у дверях автомобіля: лампочка в салоні загоряється, якщо відкрито (спрацював вимикач) будь-які з чотирьох дверцят.
• Дверні дзвінки: якщо у будинку є кілька входів, кнопку дзвінка ставлять біля кожного з них паралельно.