8. Досліджуємо тепловий баланс - Засєкіна

• Назад до змісту

Думай

Наведи приклади теплоізольованої системи.

Прикладом теплоізольованої системи, з певною точністю, можна вважати калориметр, який використовують для дослідів, щоб зменшити втрати теплоти під час теплообміну. Також прикладом може бути термос.

За яких умов рівняння теплового балансу є справедливим?

Рівняння теплового балансу є справедливим за умови, що тіла утворюють теплоізольовану систему, тобто відсутні втрати енергії (тепла) у навколишнє середовище. У такому випадку кількість теплоти, віддана одними тілами, дорівнює кількості теплоти, отриманої іншими.

Чи можна передати деяку кількість теплоти речовині, не підвищуючи цим її температури?

Так, можна. Це відбувається під час зміни агрегатного стану речовини, наприклад, під час плавлення твердого тіла або кипіння рідини. Упродовж усього процесу плавлення або кипіння температура речовини залишається сталою, хоча вона поглинає теплоту.

Дій

РОЗВ’ЯЖИ ЗАДАЧІ

Задача 1

Умова задачі: Змішали 39 л води при 20 °С і 21 л води при 60 °С. Визнач температуру суміші.

Дано:
$V_1 = 39 \text{ л}$
$t_1 = 20 \text{ °С}$
$V_2 = 21 \text{ л}$
$t_2 = 60 \text{ °С}$
$c = 4200 \text{ Дж/(кг °С)}$
$\rho = 1 \text{ кг/л}$
$\theta - ?$
Розв’язання:
Кількість теплоти, яку отримала холодна вода:
$Q_1 = c \cdot m_1 \cdot (\theta - t_1)$
Кількість теплоти, яку віддала гаряча вода:
$Q_2 = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - \theta)$
Згідно з рівнянням теплового балансу:
$Q_1 = Q_2$
$c \cdot m_1 \cdot (\theta - t_1) = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - \theta)$
Оскільки маса води $m = \rho \cdot V$, а питома теплоємність $c$ і густина
$\rho$ однакові, можемо спростити рівняння:
$V_1 \cdot (\theta - t_1) = V_2 \cdot (t_2 - \theta)$
Розв’яжемо рівняння відносно кінцевої температури $\theta$:
$\theta = \dfrac{V_1 \cdot t_1 + V_2 \cdot t_2}{V_1 + V_2}$

$\theta = \dfrac{39 \text{ л} \cdot 20 \text{ °С} + 21 \text{ л} \cdot 60 \text{ °С}}{39 \text{ л} + 21 \text{ л}} = \dfrac{780 + 1260}{60} = \dfrac{2040}{60} = 34 \text{ °С}$
Відповідь: температура суміші становить 34 °С.

Задача 2

Умова задачі: У ванні місткістю 200 л змішали холодну воду за температури 10 °С з гарячою при температурі 60 °С. Які об’єми тієї й іншої води треба взяти, аби встановилася температура 40 °С?

Дано:
$V_{заг} = 200 \text{ л}$
$t_х = 10 \text{ °С}$
$t_г = 60 \text{ °С}$
$\theta = 40 \text{ °С}$
$V_х - ?$
$V_г - ?$
Розв’язання:
Рівняння теплового балансу для води:
$Q_{отр} = Q_{відд}$
$c \cdot m_х \cdot (\theta - t_х) = c \cdot m_г \cdot (t_г - \theta)$
$V_х \cdot (\theta - t_х) = V_г \cdot (t_г - \theta)$
Загальний об’єм води:
$V_х + V_г = 200 \text{ л} \implies V_г = 200 - V_х$
Підставимо вираз для $V_г$ в рівняння теплового балансу:
$V_х \cdot (40 - 10) = (200 - V_х) \cdot (60 - 40)$
$30 \cdot V_х = 20 \cdot (200 - V_х)$
$30 \cdot V_х = 4000 - 20 \cdot V_х$
$50 \cdot V_х = 4000$
$V_х = \dfrac{4000}{50} = 80 \text{ л}$
Тепер знайдемо об’єм гарячої води:
$V_г = 200 - 80 = 120 \text{ л}$
Відповідь: потрібно взяти 80 л холодної води та 120 л гарячої води.

Задача 3

Умова задачі: В алюмінієвий калориметр масою 140 г налили 250 г води при температурі 15 °С. Після того як брусок зі свинцю масою 100 г, нагрітий до 100 °С, помістили в калориметр з водою, там установилася температура 16 °С. Склади рівняння теплового балансу і визнач питому теплоємність свинцю.

Дано:
$m_{ал} = 140 \text{ г} = 0.14 \text{ кг}$
$m_{в} = 250 \text{ г} = 0.25 \text{ кг}$
$t_{п} = 15 \text{ °С}$
$m_{св} = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$
$t_{св} = 100 \text{ °С}$
$\theta = 16 \text{ °С}$
$c_{ал} = 900 \text{ Дж/(кг °С)}$
$c_{в} = 4200 \text{ Дж/(кг °С)}$
$c_{св} - ?$
Розв’язання:
Рівняння теплового балансу:
$Q_{відд} = Q_{отр}$
Теплоту віддає свинець, а отримують алюмінієвий калориметр і вода:
$Q_{св} = Q_{ал} + Q_{в}$

$c_{св} \cdot m_{св} \cdot (t_{св} - \theta) = c_{ал} \cdot m_{ал} \cdot (\theta - t_{п}) + c_{в} \cdot m_{в} \cdot (\theta - t_{п})$
$c_{св} \cdot m_{св} \cdot (t_{св} - \theta) = (c_{ал} \cdot m_{ал} + c_{в} \cdot m_{в}) \cdot (\theta - t_{п})$
Звідси визначимо питому теплоємність свинцю $c_{св}$:
$c_{св} = \dfrac{(c_{ал} \cdot m_{ал} + c_{в} \cdot m_{в}) \cdot (\theta - t_{п})}{m_{св} \cdot (t_{св} - \theta)}$

$c_{св} = \dfrac{(900 \cdot 0.14 + 4200 \cdot 0.25) \cdot (16 - 15)}{0.1 \cdot (100 - 16)} = \dfrac{(126 + 1050) \cdot 1}{0.1 \cdot 84} = \dfrac{1176}{8.4} = 140 \text{ Дж/(кг °С)}$
Відповідь: питома теплоємність свинцю дорівнює 140 Дж/(кг·°С).

Задача 4

Умова задачі: Визнач, на скільки підвищиться температура тіла людини масою 60 кг, якщо вона занурюється у ванну з температурою води 42 °С. Середня температура тіла людини 37 °С, середня питома теплоємність тіла людини — 3350 Дж/(кг - С). Об’єм води у ванні — 220 л. Втрату теплоти на нагрівання ванни і навколишнього простору вважай рівною 40%.

Дано:
$m_{л} = 60 \text{ кг}$
$t_{л} = 37 \text{ °С}$
$c_{л} = 3350 \text{ Дж/(кг  °С)}$
$V_{в} = 220 \text{ л} \implies m_{в} = 220 \text{ кг}$
$t_{в} = 42 \text{ °С}$
$c_{в} = 4200 \text{ Дж/(кг  °С)}$
$\eta = 0.6 \text{ (ККД теплопередачі)}$
$\Delta t_{л} - ?$
Розв’язання:
Теплоту віддає вода, а отримує тіло людини. 
 Враховуємо втрати тепла (40%), отже, до тіла людини переходить
60% тепла.
$Q_{отр} = Q_{відд} \cdot (1 - 0.4)$
$Q_{л} = Q_{в} \cdot 0.6$
 
$c_{л} \cdot m_{л} \cdot (\theta - t_{л}) = 0.6 \cdot c_{в} \cdot m_{в} \cdot (t_{в} - \theta)$
$3350 \cdot 60 \cdot (\theta - 37) = 0.6 \cdot 4200 \cdot 220 \cdot (42 - \theta)$
$201000 \cdot (\theta - 37) = 554400 \cdot (42 - \theta)$
$201000 \theta - 7437000 = 23284800 - 554400 \theta$
$201000 \theta + 554400 \theta = 23284800 + 7437000$
$755400 \theta = 30721800$
$\theta = \dfrac{30721800}{755400} \approx 40.7 \text{ °С}$
Підвищення температури тіла людини:
$\Delta t_{л} = \theta - t_{л} = 40.7 - 37 = 3.7 \text{ °С}$
Відповідь: температура тіла людини підвищиться приблизно на 3.7 °С.

Задача 5

Умова задачі: Сталевий виріб загартовувався нагріванням до температури 800 °С з наступним опусканням у масло масою 2 кг, взяте при температурі 10 °С. При цьому масло нагрілося до температури 40 °С. Знайди масу сталевого виробу, якщо при переносі в масло виріб охолодився на 20 °С. Питома теплоємність масла — 2100 Дж/(кг · °С).

Дано:
$t_{ст1} = 800 \text{ °С}$
$m_{м} = 2 \text{ кг}$
$t_{м1} = 10 \text{ °С}$
$\theta = 40 \text{ °С}$
$\Delta t_{втрати} = 20 \text{ °С}$
$c_{м} = 2100 \text{ Дж/(кг °С)}$
$c_{ст} = 500 \text{ Дж/(кг °С)}$
$m_{ст} - ?$
Розв’язання:
Температура сталі перед зануренням у масло:
$t_{ст2} = t_{ст1} - \Delta t_{втрати} = 800 - 20 = 780 \text{ °С}$
Рівняння теплового балансу:
$Q_{віддано} = Q_{отримано}$

Теплоту віддає сталь, а отримує масло:
$c_{ст} \cdot m_{ст} \cdot (t_{ст2} - \theta) = c_{м} \cdot m_{м} \cdot (\theta - t_{м1})$
Звідси виражаємо масу сталевого виробу:
$m_{ст} = \dfrac{c_{м} \cdot m_{м} \cdot (\theta - t_{м1})}{c_{ст} \cdot (t_{ст2} - \theta)}$

$m_{ст} = \dfrac{2100 \cdot 2 \cdot (40 - 10)}{500 \cdot (780 - 40)} = \dfrac{4200 \cdot 30}{500 \cdot 740} = \dfrac{126000}{370000} \approx 0,34 \text{ кг}$
Відповідь: маса сталевого виробу приблизно 0,34 кг.

Задача 6

Умова задачі: Щоб охолодити виточену з міді деталь, яка має температуру 100 °С, її занурили у 420 г води з температурою 15 °С. Визнач масу деталі, якщо відомо, що у процесі теплообміну вода нагрілася до 18 °С.

Дано:
$t_{міді} = 100 \text{ °С}$
$m_{в} = 420 \text{ г} = 0.42 \text{ кг}$
$t_{в1} = 15 \text{ °С}$
$\theta = 18 \text{ °С}$
$c_{в} = 4200 \text{ Дж/(кг °С)}$
$c_{міді} = 400 \text{ Дж/(кг °С)}$
$m_{міді} - ?$
Розв’язання:
Рівняння теплового балансу:
$Q_{віддано} = Q_{отримано}$
Теплоту віддає мідна деталь, а отримує вода:
$c_{міді} \cdot m_{міді} \cdot (t_{міді} - \theta) = c_{в} \cdot m_{в} \cdot (\theta - t_{в1})$

Визначимо масу деталі:
$m_{міді} = \dfrac{c_{в} \cdot m_{в} \cdot (\theta - t_{в1})}{c_{міді} \cdot (t_{міді} - \theta)}$

$m_{міді} = \dfrac{4200 \cdot 0.42 \cdot (18 - 15)}{400 \cdot (100 - 18)} = \dfrac{1764 \cdot 3}{400 \cdot 82} = \dfrac{5292}{32800} \approx 0,16 \text{ кг}$
Відповідь: маса мідної деталі приблизно 0,16 кг

Задача 7

Умова задачі: Сталеву деталь масою 300 г нагріли до високої температури, а потім занурили для загартовування в 3 кг машинного масла, що має температуру 10 °С. Визнач початкову температуру деталі, якщо температура при усталеній тепловій рівновазі була 30 °С.

Дано:
$m_{ст} = 300 \text{ г} = 0.3 \text{ кг}$
$m_{м} = 3 \text{ кг}$
$t_{м1} = 10 \text{ °С}$
$\theta = 30 \text{ °С}$
$c_{ст} = 500 \text{ Дж/(кг °С)}$
$c_{м} = 2100 \text{ Дж/(кг °С)}$
$t_{ст} - ?$
Розв’язання:
Рівняння теплового балансу:
$c_{ст} \cdot m_{ст} \cdot (t_{ст} - \theta) = c_{м} \cdot m_{м} \cdot (\theta - t_{м1})$
Знайдемо початкову температуру деталі $t_{ст}$:
$t_{ст} - \theta = \dfrac{c_{м} \cdot m_{м} \cdot (\theta - t_{м1})}{c_{ст} \cdot m_{ст}}$


$t_{ст} = \theta + \dfrac{c_{м} \cdot m_{м} \cdot (\theta - t_{м1})}{c_{ст} \cdot m_{ст}}$

$t_{ст} = 30 + \dfrac{2100 \cdot 3 \cdot (30 - 10)}{500 \cdot 0.3} = 30 + \dfrac{6300 \cdot 20}{150} = 30 + \dfrac{126000}{150} = 30 + 840 = 870 \text{ °С}$
Відповідь: початкова температура деталі становила 870 °С.

Задача 8

Умова задачі: Вода масою 150 г, налита в латунний калориметр масою 200 г, має температуру 12 °С. Знайди температуру, котра встановиться в калориметрі, якщо у воду опустити залізну гирю масою 0,5 кг, нагріту до 100 °С.

Дано:
$m_{в} = 150 \text{ г} = 0.15 \text{ кг}$
$m_{л} = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$
$t_{1} = 12 \text{ °С}$
$m_{з} = 0.5 \text{ кг}$
$t_{з} = 100 \text{ °С}$
$c_{в} = 4200 \text{ Дж/(кг °С)}$
$c_{л} = 380 \text{ Дж/(кг °С)}$
$c_{з} = 460 \text{ Дж/(кг °С)}$
$\theta - ?$
Розв’язання:
Теплоту віддає залізна гиря, а отримують вода і латунний калориметр:
$Q_{віддано} = Q_{отримано}$
$Q_{з} = Q_{в} + Q_{л}$
$c_{з} \cdot m_{з} \cdot (t_{з} - \theta) = (c_{в} \cdot m_{в} + c_{л} \cdot m_{л}) \cdot (\theta - t_{1})$
$460 \cdot 0.5 \cdot (100 - \theta) = (4200 \cdot 0.15 + 380 \cdot 0.2) \cdot (\theta - 12)$
$230 \cdot (100 - \theta) = (630 + 76) \cdot (\theta - 12)$
$23000 - 230\theta = 706\theta - 8472$
$23000 + 8472 = 706\theta + 230\theta$
$31472 = 936\theta$
$\theta = \dfrac{31472}{936} \approx 34 \text{ °С}$
Відповідь: в калориметрі встановиться температура приблизно 34 °С.

Задача 9

Умова задачі: До алюмінієвої посудини масою 45 г налили 150 г води при температурі 20 °С. У посудину опустили циліндр масою 200 г, температура якого 95 °С, при цьому температура води підвищилась до 30 °С. Визнач питому теплоємність речовини, з якої виготовлено циліндр.

Дано:
$m_{ал} = 45 \text{ г} = 0.045 \text{ кг}$
$m_{в} = 150 \text{ г} = 0.15 \text{ кг}$
$t_{1} = 20 \text{ °С}$
$m_{ц} = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$
$t_{ц} = 95 \text{ °С}$
$\theta = 30 \text{ °С}$
$c_{ал} = 900 \text{ Дж/(кг °С)}$
$c_{в} = 4200 \text{ Дж/(кг °С)}$
$c_{ц} - ?$
Розв’язання:
Теплоту віддає циліндр, отримують — вода і алюмінієва посудина:
$Q_{ц} = Q_{в} + Q_{ал}$
$c_{ц} \cdot m_{ц} \cdot (t_{ц} - \theta) = (c_{в} \cdot m_{в} + c_{ал} \cdot m_{ал}) \cdot (\theta - t_{1})$
Виразимо питому теплоємність циліндра:
$c_{ц} = \dfrac{(c_{в} \cdot m_{в} + c_{ал} \cdot m_{ал}) \cdot (\theta - t_{1})}{m_{ц} \cdot (t_{ц} - \theta)}$
Виразимо питому теплоємність циліндра:
$c_{ц} = \dfrac{(c_{в} \cdot m_{в} + c_{ал} \cdot m_{ал}) \cdot (\theta - t_{1})}{m_{ц} \cdot (t_{ц} - \theta)}$
$c_{ц} = \dfrac{(4200 \cdot 0.15 + 900 \cdot 0.045) \cdot (30 - 20)}{0.2 \cdot (95 - 30)}$
$c_{ц} = \dfrac{(630 + 40.5) \cdot 10}{0.2 \cdot 65} = \dfrac{670.5 \cdot 10}{13} = \dfrac{6705}{13} \approx 516 \text{ Дж/(кг °С)}$
Відповідь: питома теплоємність речовини циліндра приблизно 516 Дж/(кг·°С).

Задача за малюнком 8.3

Умова задачі: У склянку, що містить 250 г води при температурі 20 °С, опустили тіло масою 200 г, попередньо нагріте до 100 °С. Після встановлення теплової рівноваги температура в склянці стала 30 °С (згідно з малюнком 8.3). Визначте питому теплоємність речовини, з якої виготовлено тіло. Теплоємністю склянки та втратами тепла знехтувати.

Дано:
$m_в = 250 \text{ г} = 0.25 \text{ кг}$
$t_в = 20 \text{ °С}$
$\theta = 30 \text{ °С}$
$m_т = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$
$t_т = 100 \text{ °С}$
$c_в = 4200 \text{ Дж/(кг  °С)}$
$c_т - ?$
Розв’язання: 
 Теплоту віддає нагріте тіло, а отримує вода. 
 Згідно з рівнянням теплового
балансу: 
 $Q_{віддано} = Q_{отримано}$
$c_т \cdot m_т \cdot (t_т - \theta) = c_в \cdot m_в \cdot (\theta - t_в)$
Звідси визначимо питому теплоємність тіла $c_т$:
$c_т = \dfrac{c_в \cdot m_в \cdot (\theta - t_в)}{m_т \cdot (t_т - \theta)}$

$c_т = \dfrac{4200 \cdot 0,25 \cdot (30 - 20)}{0,2 \cdot (100 - 30)}  = \dfrac{1050 \cdot 10}{0,2 \cdot 70} = \dfrac{10500}{14} = 750 \text{ Дж/(кг °С)}$

 Відповідь: питома теплоємність речовини, з якої виготовлено тіло, становить 750 Дж/(кг · °С).