17. Тепловий баланс - Бар'яхтар

• Назад до змісту

Контрольні запитання

1. Сформулюйте закон збереження енергії, на підставі якого складають рівняння теплового балансу.

Для системи тіл, яка не одержує і не віддає енергію, а зміна внутрішньої енергії відбувається лише внаслідок теплообміну між тілами системи, закон збереження енергії стверджує: скільки теплоти віддають одні тіла системи, стільки ж теплоти одержують інші . Це твердження лежить в основі рівняння теплового балансу:

Q₁⁻ + Q₂⁻ + … + Qₙ⁻ = Q₁⁺ + Q₂⁺ + … + Qₖ⁺

2. Назвіть умови, які мають виконуватися для використання рівняння теплового балансу.

Для використання рівняння теплового балансу мають виконуватися такі умови:

• Система тіл має бути замкненою, тобто не повинно бути теплообміну з навколишнім середовищем.
• Зміна внутрішньої енергії тіл має відбуватися тільки внаслідок теплообміну між тілами всередині системи.
• Зрештою процес теплообміну приводить до стану теплової рівноваги, тобто температури всіх тіл системи стають однаковими.

Вправа №17

Задача 1

Умова: У ванну налили 80 кг води за температури 10 °С. Скільки води за температури 100 °С потрібно додати у ванну, щоб температура води в ній стала 25 °С? Теплообміном між ванною та водою знехтуйте.

Дано:
$m_1 = 80 \text{ кг}$
$t_1 = 10 \text{ °С}$
$t_2 = 100 \text{ °С}$
$t = 25 \text{ °С}$
$c = 4200 \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}}$
$m_2 - ?$
Розв’язання:
$Q_{\text{віддано}} = Q_{\text{отримано}}$
$c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t) = c \cdot m_1 \cdot (t - t_1)$
Скорочуємо питому теплоємність води c:
$m_2 \cdot (t_2 - t) = m_1 \cdot (t - t_1)$
$m_2 = m_1 \cdot \dfrac{t - t_1}{t_2 - t} = 80 \cdot \dfrac{25 - 10}{100 - 25} = 80 \cdot \dfrac{15}{75} = 80 \cdot \dfrac{1}{5} = 16 \text{ кг}$ 
Відповідь: потрібно додати 16 кг води.

Задача 2

Умова: У каструлю налили 2 кг води за температури 40 °С, а потім додали 4 кг води за температури 85 °С. Визначте температуру суміші. Теплообміном між каструлею та водою знехтуйте.

Дано:
$m_1 = 2 \text{ кг}$
$t_1 = 40 \text{ °С}$
$m_2 = 4 \text{ кг}$
$t_2 = 85 \text{ °С}$
$c = 4200 \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}}$
$t - ?$
Розв’язання:
$Q_{\text{віддано}} = Q_{\text{отримано}}$
$c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t) = c \cdot m_1 \cdot (t - t_1)$
Скорочуємо питому теплоємність води c:
$m_2 \cdot (t_2 - t) = m_1 \cdot (t - t_1)$
$m_2 t_2 - m_2 t = m_1 t - m_1 t_1$
$m_1 t + m_2 t = m_1 t_1 + m_2 t_2$
$t \cdot (m_1 + m_2) = m_1 t_1 + m_2 t_2$
Виражаємо кінцеву температуру t:
$t = \dfrac{m_1 t_1 + m_2 t_2}{m_1 + m_2}$

$t = \dfrac{2 \cdot 40 + 4 \cdot 85}{2 + 4} = \dfrac{80 + 340}{6} = \dfrac{420}{6} = 70 \text{ °С}$
Відповідь: температура суміші стане 70 °С.

Задача 3

Умова: У воду масою 250 г за температури 15 °С занурили нагрітий у печі сталевий брусок масою 200 г. Температура води збільшилася до 25 °С. Обчисліть температуру в печі.

Дано:
$m_{\text{в}} = 250 \text{ г} = 0,25 \text{ кг}$
$t_{\text{в}} = 15 \text{ °С}$
$m_{\text{с}} = 200 \text{ г} = 0,2 \text{ кг}$
$t = 25 \text{ °С}$
$c_{\text{в}} = 4200 \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}}$
$c_{\text{с}} = 500 \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}}$
$t_{\text{с}} - ?$
Розв’язання:
$Q_{\text{с}} = Q_{\text{в}}$
$c_{\text{с}} \cdot m_{\text{с}} \cdot (t_{\text{с}} - t) = c_{\text{в}} \cdot m_{\text{в}} \cdot (t - t_{\text{в}})$
Виражаємо початкову температуру бруска $t_{\text{с}}$:
$t_{\text{с}} - t = \dfrac{c_{\text{в}} \cdot m_{\text{в}} \cdot (t - t_{\text{в}})}{c_{\text{с}} \cdot m_{\text{с}}}$
$t_{\text{с}} = t + \dfrac{c_{\text{в}} \cdot m_{\text{в}} \cdot (t - t_{\text{в}})}{c_{\text{с}} \cdot m_{\text{с}}}$
$t_{\text{с}} = 25 + \dfrac{4200 \cdot 0,25 \cdot (25 - 15)}{500 \cdot 0,2} = 25 + \dfrac{1050 \cdot 10}{100} = 25 + 105 = 130 \text{ °С}$
Відповідь: температура в печі була 130 °С.

Задача 4

Умова: Латунна посудина масою 200 г містить 400 г води за температури 20 °С. У воду опустили 800 г срібла за температури 69 °С. У результаті вода нагрілася до температури 25 °С. Визначте питому теплоємність срібла.

Дано:
$m_{\text{л}} = 200 \text{ г} = 0,2 \text{ кг}$
$m_{\text{в}} = 400 \text{ г} = 0,4 \text{ кг}$
$t_1 = 20 \text{ °С}$
$m_{\text{ср}} = 800 \text{ г} = 0,8 \text{ кг}$
$t_{\text{ср}} = 69 \text{ °С}$
$t_2 = 25 \text{ °С}$
$c_{\text{в}} = 4200 \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}}$
$c_{\text{л}} = 400 \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}}$
$c_{\text{ср}} - ?$
Розв’язання:
Теплоту віддає срібло. Отримують теплоту вода і латунна посудина.
$Q_{\text{віддано}} = Q_{\text{отримано}}$
$Q_{\text{ср}} = Q_{\text{в}} + Q_{\text{л}}$
$m_{\text{ср}} c_{\text{ср}} (t_{\text{ср}} - t_2) = m_{\text{в}} c_{\text{в}} (t_2 - t_1) + m_{\text{л}} c_{\text{л}} (t_2 - t_1)$
$m_{\text{ср}} c_{\text{ср}} (t_{\text{ср}} - t_2) = (m_{\text{в}} c_{\text{в}} + m_{\text{л}} c_{\text{л}}) \cdot (t_2 - t_1)$
Виражаємо питому теплоємність срібла $c_{\text{ср}}$:
$c_{\text{ср}} = \dfrac{(m_{\text{в}} c_{\text{в}} + m_{\text{л}} c_{\text{л}}) \cdot (t_2 - t_1)}{m_{\text{ср}} \cdot (t_{\text{ср}} - t_2)}$

$c_{\text{ср}} = \dfrac{(0,4 \cdot 4200 + 0,2 \cdot 400) \cdot (25 - 20)}{0,8 \cdot (69 - 25)} = \dfrac{(1680 + 80) \cdot 5}{0,8 \cdot 44} = \dfrac{1760 \cdot 5}{35,2} = \dfrac{8800}{35,2} = 250 \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}}$
Відповідь: питома теплоємність срібла дорівнює 250 Дж/(кг·°С).

Задача 5 (придумана)

Умова: У мідний калориметр масою 150 г, що містить 200 г води при 18 °С, опускають алюмінієву деталь масою 300 г, нагріту до 95 °С. Яка температура встановиться в калориметрі? (Питома теплоємність міді 380 Дж/(кг·°С), алюмінію 920 Дж/(кг·°С)

Дано:
$m_{\text{м}} = 0,15 \text{ кг}$
$m_{\text{в}} = 0,2 \text{ кг}$
$t_1 = 18 \text{ °С}$
$m_{\text{а}} = 0,3 \text{ кг}$
$t_{\text{а}} = 95 \text{ °С}$
$c_{\text{м}} = 380 \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}}$
$c_{\text{в}} = 4200 \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}}$
$c_{\text{а}} = 920 \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}}$
$t - ?$
Розв’язання:
Теплоту віддає алюмінієва деталь. Отримують теплоту вода і мідний калориметр.
$Q_{\text{віддано}} = Q_{\text{отримано}}$
$m_{\text{а}} c_{\text{а}} (t_{\text{а}} - t) = (m_{\text{в}} c_{\text{в}} + m_{\text{м}} c_{\text{м}}) \cdot (t - t_1)$
Підставляємо значення та розв’язуємо рівняння відносно t:
$0,3 \cdot 920 \cdot (95 - t) = (0,2 \cdot 4200 + 0,15 \cdot 380) \cdot (t - 18)$
$276 \cdot (95 - t) = (840 + 57) \cdot (t - 18)$
$26220 - 276t = 897t - 16146$
$897t + 276t = 26220 + 16146$
$1173t = 42366$
$t = \dfrac{42366}{1173} \approx 36,1 \text{ °С}$
Відповідь: у калориметрі встановиться температура приблизно 36,1 °С.