§9. Учимося розв’язувати задачі - готові розв'язки

• Назад до змісту

1. Камінь масою 500 г кинули вертикально вгору зі швидкістю 20 м/с. Визначте кінетичну і потенціальну енергії каменя на висоті 10 м.

Дано:
$m = 500 \text{ г} = 0,5 \text{ кг}$
$v_0 = 20 \text{ м/с}$
$h = 10 \text{ м}$
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$
$E_k - ?, E_p - ?$
Розв’язання:
$E_p = m \cdot g \cdot h$
$E = E_{k0} = \dfrac{m \cdot v_0^2}{2}$
$E = E_k + E_p$
$E_k = E - E_p$

$E_p = 0,5 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ м} = 50 \text{ Дж}$
$E = \dfrac{0,5 \text{ кг} \cdot (20 \text{ м/с})^2}{2} = \dfrac{0,5 \text{ кг} \cdot 400 \text{ м}^2/\text{с}^2}{2} = 100 \text{ Дж}$
$E_k = 100 \text{ Дж} - 50 \text{ Дж} = 50 \text{ Дж}$
Відповідь: $E_k = E_p = 50 \text{ Дж}$

2. Тіло, що перебувало в стані спокою, падає з висоти 20 м. На якій висоті швидкість руху тіла дорівнюватиме 10 м/с?

Дано:
$h_0 = 20 \text{ м}$
$v_0 = 0 \text{ м/с}$
$v = 10 \text{ м/с}$
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$
$h - ?$
Розв’язання:
$E_{p0} + E_{k0} = E_p + E_k$
$m \cdot g \cdot h_0 + 0 = m \cdot g \cdot h + \dfrac{m \cdot v^2}{2}$
$g \cdot h_0 = g \cdot h + \dfrac{v^2}{2}$
$g \cdot h = g \cdot h_0 - \dfrac{v^2}{2}$$h = h_0 - \dfrac{v^2}{2 \cdot g}$$h = 20 \text{ м} - \dfrac{(10 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = 20 \text{ м} - \dfrac{100 \text{ м}^2/\text{с}^2}{20 \text{ м/с}^2} = 20 \text{ м} - 5 \text{ м} = 15 \text{ м}$
Відповідь: на висоті 15 м.

3. Пружинний пістолет заряджають кулькою масою 6 г і стріляють угору. На яку висоту підніметься кулька, якщо пружину жорсткістю 180 Н/м було стиснуто на 4 см?

Дано:
$m = 6 \text{ г} = 0,006 \text{ кг}$
$k = 180 \text{ Н/м}$
$x = 4 \text{ см} = 0,04 \text{ м}$
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$
$h - ?$
Розв’язання:
$E_{p,пружини} = E_{p,кульки}$
$\dfrac{k \cdot x^2}{2} = m \cdot g \cdot h$
$h = \dfrac{k \cdot x^2}{2 \cdot m \cdot g}$$h = \dfrac{180 \text{ Н/м} \cdot (0,04 \text{ м})^2}{2 \cdot 0,006 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \dfrac{180 \cdot 0,0016}{0,12} = \dfrac{0,288}{0,12} = 2,4 \text{ м}$
Відповідь: кулька підніметься на висоту 2,4 м.

4. М’яч кинули вертикально вгору зі швидкістю 8 м/с. Визначте, на який висоті швидкість руху м’яча зменшиться удвічі.

Дано:
$v_0 = 8 \text{ м/с}$
$v = \dfrac{v_0}{2} = 4 \text{ м/с}$
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$
$h - ?$
Розв’язання:
$\dfrac{m \cdot v_0^2}{2} = m \cdot g \cdot h + \dfrac{m \cdot v^2}{2}$
$\dfrac{v_0^2}{2} = g \cdot h + \dfrac{v^2}{2}$


$g \cdot h = \dfrac{v_0^2}{2} - \dfrac{v^2}{2} = \dfrac{v_0^2 - v^2}{2}$

$h = \dfrac{v_0^2 - v^2}{2 \cdot g}$

$h = \dfrac{(8 \text{ м/с})^2 - (4 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \dfrac{64 - 16}{20} = \dfrac{48}{20} = 2,4 \text{ м}$
Відповідь: на висоті 2,4 м.

5. Кульку кинули горизонтально з висоти 4 м зі швидкістю 8 м/с. Визначте швидкість руху кульки в момент падіння на поверхню землі.

Дано:
$h = 4 \text{ м}$
$v_0 = 8 \text{ м/с}$
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$
$v - ?$
Розв’язання:
$\dfrac{m \cdot v_0^2}{2} + m \cdot g \cdot h = \dfrac{m \cdot v^2}{2}$
$\dfrac{v_0^2}{2} + g \cdot h = \dfrac{v^2}{2}$

$v^2 = v_0^2 + 2 \cdot g \cdot h$

$v = \sqrt{v_0^2 + 2 \cdot g \cdot h}$

$v = \sqrt{(8 \text{ м/с})^2 + 2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 4 \text{ м}} = \sqrt{64 + 80} = \sqrt{144} = 12 \text{ м/с}$
Відповідь: швидкість кульки в момент падіння становитиме 12 м/с.

6. Вантаж масою 40 кг скинули з літака. Після того як на висоті 400 м швидкість руху вантажу досягла 20 м/с, він почав рухатися рівномірно. Визначте: 1) повну механічну енергію вантажу: а) на висоті 400 м; б) в момент приземлення; 2) енергію, на яку перетворилася частина механічної енергії вантажу.

Дано:
$m = 40 \text{ кг}$
$h_1 = 400 \text{ м}$
$v = 20 \text{ м/с}$
$h_2 = 0 \text{ м}$
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$
$E_1 - ?, E_2 - ?, \Delta E - ?$
Розв’язання:
$E = E_k + E_p = \dfrac{m \cdot v^2}{2} + m \cdot g \cdot h$
а) На висоті 400 м:
$E_1 = \dfrac{40 \cdot 20^2}{2} + 40 \cdot 10 \cdot 400 = 168 \text{ кДж}$
б) Під час приземлення (h=0), швидкість залишається 20 м/с (рівномірний рух)
$E_2 = \dfrac{40 \cdot 20^2}{2} + 40 \cdot 10 \cdot 0 = 8 \text{ кДж}$

$\Delta E = E_1 - E_2$
$\Delta E = 168 \text{ кДж} - 8 \text{ кДж} = 160 \text{ кДж}$
Відповідь: 1) а) 168 кДж; б) 8 кДж; 2) 160 кДж.

7. Кулька масою 50 г, що перебувала у стані спокою, під дією стиснутої пружини набула швидкості 2 м/с. Визначте жорсткість пружини, якщо її стиснення дорівнювало 4 см. Тертям знехтувати.

Дано:
$m = 50 \text{ г} = 0,05 \text{ кг}$
$v = 2 \text{ м/с}$
$x = 4 \text{ см} = 0,04 \text{ м}$
$v_0 = 0$
$k - ?$
Розв’язання:
$E_{p} = E_{k}$
$\dfrac{k \cdot x^2}{2} = \dfrac{m \cdot v^2}{2}$
Звідси виражаємо жорсткість пружини k:
$k \cdot x^2 = m \cdot v^2$

$k = \dfrac{m \cdot v^2}{x^2}$

$k = \dfrac{0,05 \text{ кг} \cdot (2 \text{ м/с})^2}{(0,04 \text{ м})^2} = \dfrac{0,05 \cdot 4}{0,0016} = \dfrac{0,2}{0,0016} = 125 \text{ Н/м}$
Відповідь: жорсткість пружини дорівнює 125 Н/м.