§6. Коефіцієнт корисної дії простих механізмів

• Назад до змісту

ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ

1. Дайте означення ККД

Коефіцієнт корисної дії механізму - це фізична величина, яка дорівнює відношенню корисної роботи до повної роботи. Зазвичай ККД подають у відсотках: $\eta = \dfrac{A_{кор}}{A_{повна}} \cdot 100\%$.

2. Чому ККД завжди менший від 100%?

Корисна робота завжди менша від повної, бо в механізмах є тертя та інші втрати.

3. Як визначити ККД похилої площини? рухомого блока? нерухомого блока?

Для похилої площини: $\eta = \dfrac{mgh}{F_{тяги} \cdot l}$.

Для рухомого блока: $\eta = \dfrac{mg}{2F_{тяги}}$.

Для нерухомого блока: $\eta = \dfrac{mg}{F_{тяги}}$.

Вправа № 6

1. Двигун підіймального крана виконав повну роботу 1 кДж. Чи може корисна робота дорівнювати: а) 1530 Дж; б) 900 Дж?

Повна робота, виконана механізмом, завжди більша за корисну роботу, оскільки частина енергії витрачається на подолання сил тертя та інші втрати. Коефіцієнт корисної дії (ККД) визначається як $\eta = \dfrac{A_{\text{кор}}}{A_{\text{повна}}}$і не може перевищувати 100% (або 1).

Повна робота $A_{\text{повна}} = 1 \text{ кДж} = 1000 \text{ Дж}$.

• а) 1530 Дж: Це значення більше за повну роботу (1530 Дж > 1000 Дж). Якби корисна робота дорівнювала 1530 Дж, ККД був би більшим за 100%, що неможливо згідно з законом збереження енергії.
• б) 900 Дж: Це значення менше за повну роботу (900 Дж < 1000 Дж). Це можливо, оскільки частина енергії (1000 - 900 = 100 Дж) могла бути втрачена. ККД у цьому випадку становив би 90%.

Відповідь: а) ні, не може; б) так, може.

2. За допомогою простого механізму виконано корисну роботу 120 Дж. Визначте ККД механізму, якщо повна робота 150 Дж.

Дано:
$A_{\text{кор}} = 120 \text{ Дж}$
$A_{\text{повна}} = 150 \text{ Дж}$
$\eta - ?$
Розв’язання: 
 ККД механізму – це відношення корисної роботи до повної (виконаної) роботи,
виражене у відсотках. 
 $\eta = \dfrac{A_{\text{кор}}}{A_{\text{повна}}} \cdot 100\%$

 Підставимо числові значення: 
$\eta = \dfrac{120 \text{ Дж}}{150 \text{ Дж}} \cdot 100\% = 0,8 \cdot 100\% = 80\%$

 Відповідь: ККД механізму становить 80%.

3. Тіло піднімають похилою площиною, виконуючи корисну роботу 180 кДж. Визначте повну роботу, якщо ККД похилої площини 90%.

Дано:
$A_{\text{кор}} = 180 \text{ кДж}$
$\eta = 90 \% = 0,9$
$A_{\text{повна}} - ?$
Формула для ККД:
$\eta = \dfrac{A_{\text{кор}}}{A_{\text{повна}}}$
З цієї формули виразимо повну роботу:
$A_{\text{повна}} = \dfrac{A_{\text{кор}}}{\eta}$ 
 Підставимо значення: 
$A_{\text{повна}} = \dfrac{180 \text{ кДж}}{0,9} = 200 \text{ кДж}$

 Відповідь: повна робота дорівнює 200 кДж.

4. Вантаж масою 45 кг піднімають за допомогою пристрою, який складається з рухомого та нерухомого блоків (див. рисунок). Яку силу потрібно прикладати до вільного кінця мотузки, якщо ККД пристрою становить 75%?

Дано:
$m = 45 \text{ кг}$
$\eta = 75 \% = 0,75$
$g \approx 10 \text{ Н/кг}$
$F - ?$
Розв’язання:
Вага вантажу (сила тяжіння, що діє на нього):
$P = m \cdot g$

 ККД системи блоків визначається як 
 відношення корисної роботи (підняття вантажу) до виконаної роботи
(прикладання сили F). Рухомий блок дає виграш у силі в 2 рази, 
 отже, шлях, який проходить вільний кінець
мотузки, у 2 рази довший за висоту підйому вантажу ($s = 2h$ ).

$\eta = \dfrac{A_{\text{кор}}}{A_{\text{вик}}} = \dfrac{P \cdot h}{F \cdot s} = \dfrac{P \cdot h}{F \cdot 2h} = \dfrac{P}{2F}$
Звідси можемо виразити силу F, яку необхідно прикласти:

$F = \dfrac{P}{2\eta} = \dfrac{m \cdot g}{2\eta}$
Підставимо числові значення:

$F = \dfrac{45 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг}}{2 \cdot 0,75} = \dfrac{450 \text{ Н}}{1,5} = 300 \text{ Н}$

Відповідь: потрібно прикласти силу 300 Н.

5. Вантаж масою 108 кг підняли за допомогою важеля, прикладаючи вертикальну силу F, значення якої дорівнює 400 Н. Визначте ККД важеля, якщо плече сили, яка діє на важіль із боку вантажу, утричі менше від плеча сили F.

Дано:
$m = 108 \text{ кг}$
$F = 400 \text{ Н}$
$h_2 = 3 h_1$
$g \approx 10 \text{ Н/кг}$
$\eta - ?$
Розв’язання:
ККД важеля — це відношення корисної роботи до повної (виконаної) роботи:
$\eta = \dfrac{A_{\text{кор}}}{A_{\text{вик}}}$
Корисна робота — це робота з підняття вантажу:
$A_{\text{кор}} = P \cdot h_1$
Виконана робота — це робота прикладеної сили:
$A_{\text{вик}} = F \cdot h_2$
Підставимо вирази у формулу ККД:
$\eta = \dfrac{P \cdot h_1}{F \cdot h_2} = \dfrac{P \cdot h_1}{F \cdot 3h_1} = \dfrac{P}{3F}$
Знайдемо вагу вантажу:
$P = 108 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 1080 \text{ Н}$
Розрахуємо ККД:
$\eta = \dfrac{1080 \text{ Н}}{3 \cdot 400 \text{ Н}} = \dfrac{1080}{1200} = 0,9$
У відсотках: $\eta = 0,9 \cdot 100\% = 90 \%$
Відповідь: ККД важеля становить 90%.

6. Скориставшись додатковими джерелами інформації, дізнайтеся про значення ККД деяких механізмів і про роботу, яку вони виконують. Складіть 1-2 задачі за отриманими даними, розв’яжіть їх.

Задача 1 (на основі ККД електродвигуна)

Електричний лебідковий кран піднімає вантаж масою 500 кг на висоту 10 м. Визначте, яку роботу виконав електричний струм, якщо ККД двигуна крана становить 85%.

Дано:
$m = 500 \text{ кг}$
$h = 10 \text{ м}$
$\eta = 85 \% = 0,85$
$g \approx 10 \text{ Н/кг}$
$A_{\text{повна}} - ?$
Розв’язання:
$A_{\text{кор}} = m \cdot g \cdot h$
ККД визначається як відношення корисної роботи до повної (виконаної)
$\eta = \dfrac{A_{\text{кор}}}{A_{\text{повна}}}$
Звідси повна робота, яку виконав двигун (тобто робота електричного струму), дорівнює: 
$A_{\text{повна}} = \dfrac{A_{\text{кор}}}{\eta} = \dfrac{m \cdot g \cdot h}{\eta}$

Підставимо значення: 
$A_{\text{кор}} = 500 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} \cdot 10 \text{ м} = 50000 \text{ Дж} = 50 \text{ кДж}$
$A_{\text{повна}} = \dfrac{50000 \text{ Дж}}{0,85} \approx 58824 \text{ Дж} \approx 58,8 \text{ кДж}$
Відповідь: робота, яку виконав електричний струм, становить приблизно 58,8 кДж.

Задача 2 (на основі ККД гідравлічного домкрата)

За допомогою гідравлічного домкрата піднімають автомобіль масою 1,5 т. ККД домкрата становить 80%. Яку корисну роботу було виконано, якщо повна робота, виконана людиною, дорівнює 3 кДж? На яку висоту підняли автомобіль?

Дано:
$m = 1,5 \text{ т} = 1500 \text{ кг}$
$A_{\text{повна}} = 3 \text{ кДж} = 3000 \text{ Дж}$
$\eta = 80 \% = 0,8$
$g \approx 10 \text{ Н/кг}$
$A_{\text{кор}} - ? \quad h - ?$
Розв’язання: 
 Спочатку знайдемо корисну роботу, скориставшись формулою ККД. 
$\eta = \dfrac{A_{\text{кор}}}{A_{\text{повна}}}$
Звідси:
$A_{\text{кор}} = A_{\text{повна}} \cdot \eta$
Корисна робота також дорівнює потенціальній енергії, якої набув автомобіль.
$A_{\text{кор}} = m \cdot g \cdot h$
Визначимо корисну роботу:
$A_{\text{кор}} = 3000 \text{ Дж} \cdot 0,8 = 2400 \text{ Дж} = 2,4 \text{ кДж}$
Тепер з формули для корисної роботи знайдемо висоту $h$:
$h = \dfrac{A_{\text{кор}}}{m \cdot g}$
Підставимо числові значення:
$h = \dfrac{2400 \text{ Дж}}{1500 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг}} = \dfrac{2400}{15000} = 0,16 \text{ м}$
Відповідь: виконано корисну роботу 2,4 кДж; автомобіль підняли на висоту 16 см.