§2. Важіль. Момент сили. Умова рівноваги важеля

• Назад до змісту

Контрольні запитання

1. Що таке важіль?

Важіль — це будь-яке тверде тіло, що має точку опори і може обертатися навколо неї.

2. Наведіть приклади застосування важеля.

Важелі оточують нас усюди: це і звичайні ножиці, і дитяча гойдалка, і лом, яким щось підважують. Навіть щипці, ваги та гайковий ключ працюють за цим принципом.

3. Дайте означення плеча сили.

Плечем сили називають відстань від точки опори до лінії, вздовж якої діє ця сила.

4. Якою рівністю записують правило важеля?

Правило важеля виглядає як проста формула:

Тут $F_1$і $F_2$— це сили, а $d_1$і $d_2$— їхні плечі

5. Дайте означення моменту сили.

Момент сили — це величина, що показує, наскільки ефективно сила обертає тіло. Її знаходять, множачи силу на її плече:

6. Якою є одиниця моменту сили в СІ?

У Міжнародній системі одиниць (СІ) момент сили вимірюють у ньютон-метрах (Н·м).

7. Сформулюйте правило моментів.

Щоб важіль був у рівновазі, сума моментів сил, що обертають його за годинниковою стрілкою, повинна дорівнювати сумі моментів, що обертають його проти годинникової стрілки. Все має бути збалансовано.

8. Чи завжди важіль застосовують для отримання виграшу в силі? Наведіть приклади

Не завжди. Іноді нам потрібен виграш у відстані, а не в силі. Наприклад, веслами гребуть, щоб кінець весла у воді проходив більший шлях, ніж рука, що дозволяє човну рухатись швидше. Або щипцями для льоду ми не виграємо в силі, але можемо зручно маніпулювати предметами.

Вправа 2

1. Маса якої людини на рис. 1 є більшою? Поясніть свою відповідь.

Відповідь:

Маса хлопчика (праворуч) є більшою.

Пояснення:

Гойдалка — це класичний приклад важеля, який перебуває у рівновазі, коли виконується умова:

де $F$— сила тяжіння (вага), а $d$— плече (відстань від осі). На рисунку видно, що хлопчик сидить ближче до осі обертання, отже, його плече $d$менше. Щоб зберегти рівновагу, його сила (і, відповідно, маса) має бути більшою.

2. Розгляньте рис. 2. Який важіль застосовують для виграшу в силі, а який — для виграшу у відстані? Відповідь обґрунтуйте.

• Весло використовується для виграшу у відстані. Плече сили, що діє на воду, довше за плече сили, яку прикладає весляр. Це дозволяє кінцю весла проходити більшу відстань, але вимагає більших зусиль.
• Молоток-цвяходер використовується для виграшу в силі. Плече сили, яку прикладає рука до ручки, значно більше за плече, з яким молоток діє на цвях. Це дозволяє створити велику силу для витягування цвяха, докладаючи відносно невелике зусилля.

Задача 3

Умова: Вага вантажу 1 становить 90 Н (рис. 3). Визначте вагу вантажу 2.

Дано:

• $F_1 = 90 \text{ Н}$
• $d_1$= 3 поділки
• $d_2$= 5 поділок

Знайти:

• $F_2 = ?$

Розв’язання:

• Застосовуємо правило важеля: $F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2$
• Виражаємо $F_2$: $F_2 = F_1 \cdot \dfrac{d_1}{d_2}$
• Підставляємо значення: $F_2 = 90 \text{ Н} \cdot \dfrac{3}{5} = 54 \text{ Н}$

Відповідь: Вага вантажу 2 становить 54 Н.

Задача 4

Умова: Визначте масу вантажу (рис. 4), якщо на правий кінець важеля діє сила 40 Н.

Дано:

• $F_2 = 40 \text{ Н}$
• $d_1 = 2$поділки
• $d_2 = 6$поділок

Знайти:

• $m_1 = ?$

Розв’язання:

• За правилом важеля: $F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2$, де $F_1 = m_1 \cdot g$.
• Виражаємо масу: $m_1 = \dfrac{F_2 \cdot d_2}{g \cdot d_1}$
• Підставляємо значення (при $g \approx 10 \text{ м/с}^2$): $m_1 = \dfrac{40 \cdot 6}{10 \cdot 2} = \dfrac{240}{20} = 12 \text{ кг}$

Відповідь: Маса вантажу становить 12 кг.

Задача 5

Умова: Загальна маса вантажів на рис. 5 — 48 кг. Визначте масу кожного вантажу.

Дано:

• $m_1 + m_2 = 48 \text{ кг}$
• $d_1 = 5$, $d_2 = 3$

Знайти:

• $m_1 = ?$
• $m_2 = ?$

Розв’язання:

• З умови рівноваги: $m_1 \cdot d_1 = m_2 \cdot d_2 \implies m_1 = \dfrac{3}{5} m_2$
• Підставляємо у рівняння суми мас: $\dfrac{3}{5} m_2 + m_2 = 48 \implies \dfrac{8}{5} m_2 = 48$
• $m_2 = 48 \cdot \dfrac{5}{8} = 30 \text{ кг}$
• $m_1 = 48 - 30 = 18 \text{ кг}$

Відповідь: Маса першого вантажу — 18 кг, другого — 30 кг.

Задача 6

Умова: До кінців тонкого однорідного стрижня завдовжки 2 м підвішено вантажі масами 14 і 26 кг. На якій відстані від середини стрижня слід розмістити опору, щоб стрижень перебував у рівновазі?

Дано:

• $L = 2 \text{ м}$
• $m_1 = 14 \text{ кг}$
• $m_2 = 26 \text{ кг}$

Знайти:

• $x = ?$(відстань від середини до опори)

Розв’язання:

• Нехай $x$— шукана відстань. Плечі сил: $d_1 = 1 + x$та $d_2 = 1 - x$.
• З умови рівноваги: $m_1 \cdot d_1 = m_2 \cdot d_2$
• Підставляємо значення: $14 \cdot (1 + x) = 26 \cdot (1 - x)$
• Розв’язуємо рівняння: $14 + 14x = 26 - 26x \implies 40x = 12$
• $x = \dfrac{12}{40} = 0,3 \text{ м}$

Відповідь: Опору слід розмістити на 0,3 м (30 см) від середини стрижня в бік важчого вантажу.

7. Розгляньте рис. 6 і поясніть: чому ножиці для різання металу мають довгі ручки, а для різання тканини — короткі; як «працює» гайковий ключ; яким ключем легше відкрутити гайку — з довгою ручкою чи з короткою.

• Ножиці для металу мають довгі ручки, бо чим більше плече сили, тим більший момент сили створюється при тій самій силі. Це дає виграш у силі — легше різати тверді матеріали. Для тканини таких зусиль не потрібно, тому ручки короткі й завдяки цьому швидше ріже.
• Гайковий ключ — це важіль: чим довша ручка, тим більший момент сили можна створити, прикладаючи ту ж силу.
• Легше відкрутити гайку ключем із довгою ручкою, бо при більшому плечі потрібна менша сила для того самого моменту сили.

Задача 8

Умова: Маса вантажу 1 — 10 кг, вантажу 2 — 5 кг (рис. 7). Визначте масу вантажу 3. З якою силою важіль тисне на опору?

Дано:

• $m_1 = 10 \text{ кг}$, $d_1 = 5$
• $m_2 = 5 \text{ кг}$, $d_2 = 2$
• $d_3 = 3$

Знайти:

• $m_3 = ?$
• $N = ?$

Розв’язання:

• Правило моментів: $m_1 g d_1 + m_2 g d_2 = m_3 g d_3$
• Знаходимо $m_3$: $10 \cdot 5 + 5 \cdot 2 = m_3 \cdot 3 \implies 60 = 3 m_3 \implies m_3 = 20 \text{ кг}$
• Сила тиску на опору дорівнює сумі ваг: $N = (m_1 + m_2 + m_3) \cdot g$
• $N = (10 + 5 + 20) \cdot 10 = 350 \text{ Н}$

Відповідь: $m_3 = 20 \text{ кг}$, $N = 350 \text{ Н}$.

Задача 9

• Тут ви можете знайти розв’язок задачі 9

Задача 10

Умова: Знайдіть відомості про важелі в тілі людини (див. рис. 8). Складіть задачу за цими відомостями й розв’яжіть її.

Відомості: У тілі людини кістки та м’язи утворюють системи важелів, що є цікавим прикладом застосування фізики в біології1. Наприклад, при згинанні руки в лікті точка опори — ліктьовий суглоб, сила тяги м’яза (біцепса) прикладається близько до опори, а вага вантажу в руці — набагато далі. Для розрахунків таких систем зручно використовувати математичні формули, записані за допомогою LaTeX2.

Задача: М’яз біцепс прикріплений до кістки передпліччя на відстані 4 см від ліктя. Людина тримає в руці вантаж масою 5 кг на відстані 32 см від ліктя. Яку силу має розвинути м’яз для утримання вантажу?

Дано:

• $d_1 = 4 \text{ см} = 0,04 \text{ м}$
• $d_2 = 32 \text{ см} = 0,32 \text{ м}$
• $m = 5 \text{ кг}$

Знайти:

• $F_{м’яз} = ?$

Розв’язання:

• Використовуємо умову рівноваги моментів: $F_{м’яз} \cdot d_1 = m g \cdot d_2$
• Звідси виражаємо силу м’яза: $F_{м’яз} = \dfrac{m g \cdot d_2}{d_1}$
• Підставимо числа (при $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$): $F_{м’яз} = \dfrac{5 \cdot 9,8 \cdot 0,32}{0,04} = 392 \text{ Н}$

Відповідь: Щоб утримати вантаж масою 5 кг, м’яз повинен розвинути силу 392 Н.