Умова задачі: До кінця стержня масою 10 кг і завдовжки 40 см підвісили вантажі 400 Н і 100 Н. Де треба підперти стержень, щоб він перебував у рівновазі?
Дано: m = 10 кг m = 10 \, \text{кг} m = 10 кг l = 40 см = 0 , 4 м l = 40 \, \text{см} = 0,4 \, \text{м} l = 40 см = 0 , 4 м F 1 = 400 Н F_1 = 400 \, \text{Н} F 1 = 400 Н F 2 = 100 Н F_2 = 100 \, \text{Н} F 2 = 100 Н Розв’язання: Запишемо рівняння моментів сил для рівноваги стержня:
F 1 d 1 − F 2 d 2 − m g d 3 = 0 F_1 d_1 - F_2 d_2 - mg d_3 = 0 F 1 d 1 − F 2 d 2 − m g d 3 = 0 Перетворимо, враховуючи відстані:
F 1 d 1 − F 2 ( l − d 1 ) − m g ( l 2 − d 1 ) = 0 F_1d_1 - F_2(l - d_1) - mg(\dfrac{l}{2} - d_1) = 0 F 1 d 1 − F 2 ( l − d 1 ) − m g ( 2 l − d 1 ) = 0 Розкриємо дужки:
F 1 d 1 − F 2 l + F 2 d 1 − m g l 2 + m g d 1 = 0 F_1d_1 - F_2l + F_2d_1 - mg\dfrac{l}{2} + mgd_1 = 0 F 1 d 1 − F 2 l + F 2 d 1 − m g 2 l + m g d 1 = 0 Згрупуємо доданки з d₁:
d 1 ( F 1 + F 2 + m g ) = F 2 l + m g l 2 d_1(F_1 + F_2 + mg) = F_2l + mg\dfrac{l}{2} d 1 ( F 1 + F 2 + m g ) = F 2 l + m g 2 l Виразимо d₁:
d 1 = F 2 l + m g l 2 F 1 + F 2 + m g = 2 F 2 l + m g l 2 ( F 1 + F 2 + m g ) d_1 = \dfrac{F_2l + mg\dfrac{l}{2}}{F_1 + F_2 + mg} = \dfrac{2F_2l + mgl}{2(F_1 + F_2 + mg)} d 1 = F 1 + F 2 + m g F 2 l + m g 2 l = 2 ( F 1 + F 2 + m g ) 2 F 2 l + m g l Підставимо числові значення:
d 1 = 2 ⋅ 100 H ⋅ 0 , 4 м + 10 кг ⋅ 9 , 8 H кг ⋅ 0 , 4 м 2 ⋅ ( 400 H + 100 H + 10 кг ⋅ 9 , 8 H кг ) = 0 , 1 (м) d_1 = \dfrac{2 \cdot 100 \text{ H} \cdot 0,4 \text{ м} + 10 \text{ кг} \cdot 9,8 \dfrac{\text{H}}{\text{кг}} \cdot 0,4 \text{ м}}{2 \cdot (400 \text{ H} + 100 \text{ H} + 10 \text{ кг} \cdot 9,8 \dfrac{\text{H}}{\text{кг}})} = 0,1 \text{ (м)} d 1 = 2 ⋅ ( 400 H + 100 H + 10 кг ⋅ 9 , 8 кг H ) 2 ⋅ 100 H ⋅ 0 , 4 м + 10 кг ⋅ 9 , 8 кг H ⋅ 0 , 4 м = 0 , 1 ( м ) Відповідь: 10 см від точки прикладання сили 400 Н.
