§ 1. ДОСЛІДЖУЄМО ПРЯМОЛІНІЙНИЙ РІВНОЗМІННИЙ РУХ

• Назад до змісту довідника

ДОСЛІДЖУЙ

Порівняй зображення на малюнках 1.1, а та 1.1, б. Обери із запропонованих нижче тверджень ті, які, на твою думку, описують той чи інший випадок.

Для випадку на малюнку 1.1, а (рівноприскорений рух автомобіля):

• 1. Автомобіль рухається прямолінійно.
• 3. Автомобіль проходить різні відстані за однакові інтервали часу.
• 5. Швидкість автомобіля змінюється на однакову величину за однакові інтервали часу.
• 6. За малюнком можна виявити закономірність: якщо поділити величину зміни швидкості (наприклад, $v_1 - v_0$) на інтервал часу, за який вона змінюється ($t_1 - t_0$), то отримана величина буде сталою на всій ділянці шляху.

Для випадку на малюнку 1.1, б (рівномірний рух автомобіля):

• 1. Автомобіль рухається прямолінійно.
• 2. Автомобіль проходить однакові відстані за однакові інтервали часу.
• 4. Швидкість автомобіля не змінюється.
• 7. За малюнком можна виявити закономірність: якщо поділити величину зміни переміщення (наприклад, $s_1 - s_0$) на інтервал часу, за який вона змінюється ($t_1 - t_0$), то отримана величина буде сталою на всій ділянці.

Наведи приклади таких рухів.

Прикладами рівномірного прямолінійного руху (як на мал. 1.1, б) є рух кінця стрілки годинника, рух молекули газу між двома зіткненнями або рух автомобіля на довгій прямій ділянці дороги із ввімкненим круїз-контролем.

Прикладами рівнозмінного прямолінійного руху (як на мал. 1.1, а) є старт і розбіг літака на злітній смузі, вільне падіння каменя, кинутого вниз без початкової швидкості, або гальмування потяга перед зупинкою.

У якому випадку руху тіла більше? Порівняй графіки I і III. Що можна сказати про прискорення руху тіла III?

Графік I відображає рівноприскорений рух, оскільки швидкість тіла збільшується з часом. Графік III відображає рівносповільнений рух, оскільки швидкість тіла з часом зменшується.

Прискорення руху тіла III є постійним за модулем, але проекція прискорення на вісь координат має від’ємне значення ($a_x < 0$), оскільки напрямок вектора прискорення протилежний до напрямку вектора швидкості тіла.

ДУМАЙ

1. Який рух називають рівнозмінним?

Рівнозмінним рухом називають рух тіла, під час якого за будь-які однакові інтервали часу швидкість руху тіла змінюється однаково (тобто прискорення під час руху залишається сталим).

2. Яка фізична величина характеризує зміну швидкості тіла з часом?

Фізичною величиною, яка характеризує зміну швидкості тіла з часом (тобто стрімкість цієї зміни), є прискорення.

3. Як обчислити прискорення?

Прискорення обчислюється як відношення зміни швидкості тіла до інтервалу часу, протягом якого ця зміна відбулася [10]:
$a = \dfrac{v - v_0}{\Delta t}$
де $v_0$ — початкова швидкість руху тіла, $v$ — його кінцева швидкість, а $\Delta t$ — інтервал часу [10].

4. У чому різниця між рівномірним і рівнозмінним рухами?

При рівномірному русі швидкість тіла не змінюється, тобто за будь-які однакові інтервали часу тіло здійснює однакові переміщення. При рівнозмінному русі швидкість постійно змінюється, проте за будь-які однакові інтервали часу вона збільшується або зменшується на однакову величину (прискорення руху залишається сталим).

5. Чому рух кулі в рушниці або старт ракети вважаються прикладами рівнозмінного руху?

Ці процеси вважаються прикладами рівнозмінного руху, оскільки під час їхнього перебігу швидкість тіл змінюється дуже стрімко, але з практично постійним прискоренням під дією відносно сталих сил (тиску порохових газів у стволі чи тяги реактивного двигуна).

6. Який вигляд має графік залежності швидкості від часу при рівнозмінному русі?

Графік залежності швидкості від часу $v(t)$ при рівнозмінному русі має вигляд прямої лінії, нахиленої до осі часу.

7. Поясни, чому геймдизайнеру потрібно знати закони рівнозмінного руху.

Знання законів рівнозмінного руху потрібні геймдизайнерам для надання реалістичності ігровому процесу. Це дозволяє правильно налаштувати різні швидкості пересування персонажів (біг, ходьба, спринт) та їхнє прискорення, а також забезпечує плавний перехід між різними станами швидкості під час ігрових дій.

РОЗВ’ЯЖИ ЗАДАЧІ

1 Поїзд через 10 с після початку руху набув швидкості 0,6 м/с. Через скільки часу від початку руху швидкість поїзда становитиме 3 м/с?

Дано:

• $v_0 = 0\text{ м/с}$
• $t_1 = 10\text{ с}$
• $v_1 = 0{,}6\text{ м/с}$
• $v_2 = 3\text{ м/с}$

Знайти:

• $t_2 - ?$

Розв’язання:

Прискорення руху поїзда визначається за формулою:

$a = \dfrac{v_1 - v_0}{t_1}$

$a = \dfrac{0{,}6 - 0}{10} = 0{,}06\text{ м/с}^2$

Час, за який поїзд досягне швидкості $v_2$, становить:

$t_2 = \dfrac{v_2 - v_0}{a}$

$t_2 = \dfrac{3 - 0}{0{,}06} = 50\text{ с}$

Відповідь: 50 с.

2 Велосипедистка їде з гори з прискоренням 0,3 м/с². Якої швидкості набуде велосипедистка через 20 с, якщо її початкова швидкість становила 4 м/с?

Дано:

• $a = 0{,}3\text{ м/с}^2$
• $t = 20\text{ с}$
• $v_0 = 4\text{ м/с}$

Знайти:

• $v - ?$

Розв’язання:

Формула швидкості для прямолінійного рівноприскореного руху:

$v = v_0 + a \cdot t$

$v = 4 + 0{,}3 \cdot 20 = 4 + 6 = 10\text{ м/с}$

Відповідь: 10 м/с.

3 За який час автомобіль, рухаючись із прискоренням 0,4 м/с², збільшить свою швидкість від 12 до 20 м/с?

Дано:

• $a = 0{,}4\text{ м/с}^2$
• $v_0 = 12\text{ м/с}$
• $v = 20\text{ м/с}$

Знайти:

• $t - ?$

Розв’язання:

З формули прискорення $a = \dfrac{v - v_0}{t}$ виразимо час руху:

$t = \dfrac{v - v_0}{a}$

$t = \dfrac{20 - 12}{0{,}4} = \dfrac{8}{0{,}4} = 20\text{ с}$

Відповідь: 20 с.

4 Наближаючись до станції, поїзд рухався зі швидкістю 90 км/год й після початку гальмування зупинився через 50 с. Визнач прискорення поїзда під час гальмування.

Дано:

• $v_0 = 90\text{ км/год} = 25\text{ м/с}$
• $v = 0\text{ м/с}$
• $t = 50\text{ с}$

Знайти:

• $a - ?$

Розв’язання:

Для визначення проекції прискорення скористаємося формулою:

$a = \dfrac{v - v_0}{t}$

$a = \dfrac{0 - 25}{50} = -0{,}5\text{ м/с}^2$

Знак «мінус» вказує на те, що напрямок вектора прискорення протилежний напрямку руху поїзда (рух є рівносповільненим). Модуль прискорення становить $0{,}5\text{ м/с}^2$.

Відповідь: -0,5 м/с² (модуль прискорення дорівнює 0,5 м/с²).

5 Через скільки секунд після відходу від станції швидкість поїзда метрополітену досягне 72 км/год, якщо прискорення під час розгону становить 1 м/с²?

Дано:

• $v_0 = 0\text{ м/с}$
• $v = 72\text{ км/год} = 20\text{ м/с}$
• $a = 1\text{ м/с}^2$

Знайти:

• $t - ?$

Розв’язання:

Час розгону поїзда визначимо за формулою:

$t = \dfrac{v - v_0}{a}$

$t = \dfrac{20 - 0}{1} = 20\text{ с}$

Відповідь: 20 с.

6 На малюнку 1.5 зображено два графіки залежності швидкості від часу для двох тіл. Яке тіло має більше прискорення? Яке тіло пройшло більшу відстань за 5 с?

Більше прискорення має тіло $A$, оскільки кут нахилу його графіка до осі часу є більшим.

Шлях, пройдений тілом за графіком $v(t)$, чисельно дорівнює площі фігури під графіком. Оскільки площа під графіком для тіла $A$ на інтервалі від $0$ до $5\text{ с}$ більша за площу під графіком для тіла $B$, то більшу відстань за $5\text{ с}$ пройшло тіло $A$.

7 Побудуй графік залежності швидкості тіла від часу за наступними даними. Початкова швидкість — 0 м/с. Через 2 с від початку руху швидкість тіла становитиме 4 м/с, через 4 с — 8 м/с, через 6 с — 12 м/с. За графіком визнач прискорення тіла. Скільки часу потрібно тілу, щоб досягти швидкості 20 м/с? Яке переміщення здійснило тіло за перші 6 секунд?

Відомо:

• $v_0 = 0\text{ м/с}$
• $t_1 = 2\text{ с}$, $v_1 = 4\text{ м/с}$
• $t_2 = 4\text{ с}$, $v_2 = 8\text{ м/с}$
• $t_3 = 6\text{ с}$, $v_3 = 12\text{ м/с}$
• $v_x = 20\text{ м/с}$

Знайти:

• Графік $v(t) - ?$
• $a - ?$
• $t_x - ?$
• $s_3 - ?$

Розв’язання:

Побудуємо графік за наведеними точками: $(0; 0)$, $(2; 4)$, $(4; 8)$, $(6; 12)$. Графіком є пряма лінія, що виходить із початку координат.

Визначимо прискорення тіла за формулою:

$a = \dfrac{v_1 - v_0}{t_1}$

$a = \dfrac{4 - 0}{2} = 2\text{ м/с}^2$

Визначимо час, необхідний для досягнення швидкості $v_x = 20\text{ м/с}$:

$t_x = \dfrac{v_x - v_0}{a}$

$t_x = \dfrac{20 - 0}{2} = 10\text{ с}$

Обчислимо переміщення за перші 6 секунд як площу трикутника під графіком швидкості від $0$ до $6\text{ с}$:

$s_3 = \dfrac{1}{2} \cdot t_3 \cdot v_3$

$s_3 = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 = 36\text{ м}$

Відповідь: прискорення тіла становить $2\text{ м/с}^2$; щоб досягти швидкості $20\text{ м/с}$, тілу потрібно $10\text{ с}$; за перші 6 секунд тіло здійснило переміщення $36\text{ м}$.

8 Яке прискорення тіла під час гальмування (мал. 1.6)? Яке переміщення здійснило тіло за цей час? Як зміниться графік, якщо тіло зупиниться за 10 с?

Відомо:

• $v_0 = 30\text{ м/с}$
• $t = 5\text{ с}$
• $v = 0\text{ м/с}$

Знайти:

• $a - ?$
• $s - ?$

Розв’язання:

Прискорення тіла під час гальмування (спрямоване проти напрямку руху):

$a = \dfrac{v - v_0}{t}$

$a = \dfrac{0 - 30}{5} = -6\text{ м/с}^2$

Проекція прискорення становить $-6\text{ м/с}^2$, а його модуль дорівнює $6\text{ м/с}^2$.

Переміщення тіла за час гальмування визначимо як площу трикутника під графіком:

$s = \dfrac{1}{2} \cdot t \cdot v_0$

$s = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 30 = 75\text{ м}$

Відповідь: прискорення тіла дорівнює $-6\text{ м/с}^2$ (модуль прискорення $6\text{ м/с}^2$); переміщення становить $75\text{ м}$; якщо тіло зупиниться за $10\text{ с}$, графік стане менш пологим і перетне вісь часу в точці $10\text{ с}$.

9 Як би ти запрограмував / запрограмувала рівнозмінний рух в середовищі Scratch або Unity? Як би ти зобразив / зобразила рівнозмінний рух в анімації чи графіці?

У середовищі Scratch рівнозмінний рух можна запрограмувати за допомогою створення двох змінних: швидкість та прискорення. У циклі завжди до значення змінної швидкість додається значення змінної прискорення, після чого спрайт переміщується на кількість кроків, яка дорівнює поточному значенню швидкості (блок перемістити на (швидкість) кроків).

У середовищі Unity для реалізації рівнозмінного руху об’єкта через фізичний рушій PhysX до компонента Rigidbody застосовується постійна сила за допомогою методу Rigidbody.AddForce(), або ж у методі Update() аналітично змінюється координата об’єкта за формулою: velocity += acceleration * Time.deltaTime; transform.Translate(velocity * Time.deltaTime);.

В анімації та графіці рівнозмінний рух зображується за допомогою нерівномірного розподілу кадрів (принципи “Slow In and Slow Out” / “Ease In and Ease Out”). При прискоренні відстань між сусідніми положеннями об’єкта на кожному наступному кадрі прогресивно збільшується, а при сповільненні — зменшується.

10 Склади власну ситуаційну задачу про рівнозмінний рух у повсякденному житті (транспорт, спорт, ігри).

Задача про рух електросамоката

Спортсмен розганяється на прямолінійній ділянці бігової доріжки на електросамокаті. Рушаючи з місця станційного спокою, він рухається з постійним прискоренням $1{,}5\text{ м/с}^2$. Визначте швидкість, яку розвине електросамокат через $6\text{ с}$ після початку розгону, та шлях, який він подолає за цей час.

ВИКОНАЙ ДОСЛІДЖЕННЯ

Визначення прискорення рівноприскореного руху автомобіля

Результати вимірювань і обчислень (приклад таблиці за виконаним дослідом):

Обчислення проводилися за формулою рівноприскореного руху без початкової швидкості $s = \dfrac{at^2}{2}$, звідки $a = \dfrac{2s}{t^2}$.

Висновок: У результаті експерименту було виміряно шляхи, пройдені автомобілем за однакові інтервали часу, та обчислено прискорення його руху. Середнє значення прискорення іграшкового автомобіля становить $20\text{ см/с}^2$ (або $0,2\text{ м/с}^2$), що підтверджує рівноприскорений характер його руху.