§ 25. Отримання зображень за допомогою лінзи. Формула тонкої лінзи

• Назад до змісту

ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ

1. Побудуйте зображення предмета $AB$.

Побудова виконується за двома стандартними променями:

1. Промінь від вершини предмета $B$, паралельний головній оптичній осі, заломлюється в лінзі та проходить через її задній фокус $F$.
2. Промінь від точки $B$, спрямований через оптичний центр лінзи $O$, проходить без заломлення і не змінює напрямку.
3. Точка перетину заломлених променів дає зображення вершини $B_1$. Опустивши перпендикуляр на вісь, отримуємо точку $A_1$.

Характеристики зображення предмета: дійсне, обернене, збільшене, розміщене за подвійним фокусом з протилежного боку лінзи ($f > 2F$).

2. На малюнку подані головна оптична вісь лінзи, предмет $AB$ і його зображення $A_1B_1$. Визначте графічно розташування оптичного центра й фокуса лінзи.

Графічне знаходження оптичного центра та фокусів лінзи:

1. Проводимо пряму через вершину зображення $B_1$ та вершину предмета $B$. Точка перетину цієї прямої з головною оптичною віссю є оптичним центром лінзи $O$. Через точку $O$ будуємо перпендикулярну площину лінзи.
2. Оскільки зображення $A_1B_1$ є прямим, збільшеним і розташоване далі від лінзи, ніж предмет ($f > d$), воно є уявним, тому лінза — збиральна.
3. Від точки $B$ проводимо промінь, паралельний головній оптичній осі, до перетину з площиною лінзи. Заломлений промінь іде так, що його уявне продовження назад проходить через точку $B_1$. Перетин заломленого променя з головною оптичною віссю праворуч від лінзи дає головний фокус лінзи $F$. Відклавши таку саму відстань ліворуч від точки $O$, позначаємо передній фокус.

3. Який оптичний прилад ви використаєте, щоб прочитати таємничий дрібний напис на старовинній монеті?

Для розглядання напису на монеті використовують лупу.
Лупа являє собою збиральну лінзу з невеликою фокусною відстанню. Якщо розташувати монету між лінзою та її фокусом ($d < F$), лінза утворює пряме, збільшене й уявне зображення. Завдяки цьому кут зору збільшується, і людське око бачить дрібні деталі карбування без перенапруження.

4. Розмір зображення будинку на фотоплівці 1,5 см. Визначте лінійне збільшення лінзи фотоапарата, якщо висота будинку дорівнює 4,5 м.

Дано:

• $H = 1{,}5\text{ см} = 0{,}015\text{ м}$
• $h = 4{,}5\text{ м}$

Знайти:

• $\Gamma - ?$

Розв’язання:
За означенням лінійного збільшення:
$\Gamma = \dfrac{H}{h}$

Підставимо числові дані разом з одиницями вимірювання:
$\Gamma = \dfrac{0{,}015\text{ м}}{4{,}5\text{ м}} \approx 0{,}003$

Відповідь: $\Gamma \approx 0{,}003$.

5. Визначте відстань від збиральної лінзи з фокусною відстанню 20 см до зображення предмета, якщо предмет перебуває на відстані 15 см від лінзи.

Дано:

• $F = 20\text{ см} = 0{,}2\text{ м}$
• $d = 15\text{ см} = 0{,}15\text{ м}$

Знайти:

• $f - ?$

Розв’язання:
Запишемо формулу тонкої лінзи:
$\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}$

Виразимо величину $\dfrac{1}{f}$:
$\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{F} - \dfrac{1}{d} = \dfrac{d - F}{d \cdot F}$
$f = \dfrac{d \cdot F}{d - F}$

Підставимо значення разом з одиницями вимірювання:
$f = \dfrac{0{,}15\text{ м} \cdot 0{,}2\text{ м}}{0{,}15\text{ м} - 0{,}2\text{ м}} = \dfrac{0{,}03\text{ м}^2}{-0{,}05\text{ м}} = -0{,}6\text{ м}$

Відповідь: $f = -0{,}6\text{ м}$.

6. Визначте оптичну силу розсіювальної лінзи, якщо вона дає зображення предмета на відстані 3 см, а відстань від предмета до лінзи дорівнює 6 см.

Дано:

• $d = 6\text{ см} = 0{,}06\text{ м}$
• $f = 3\text{ см} = 0{,}03\text{ м}$

Знайти:

• $D - ?$

Розв’язання:
Розсіювальна лінза завжди дає уявне зображення, тому відстань до зображення береться зі знаком «мінус»:
$D = \dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{f}$

Підставимо значення разом з одиницями вимірювання:
$D = \dfrac{1}{0{,}06\text{ м}} - \dfrac{1}{0{,}03\text{ м}} = \dfrac{50}{3}\text{ м}^{-1} - \dfrac{100}{3}\text{ м}^{-1} = -\dfrac{50}{3}\text{ дптр} \approx -16{,}67\text{ дптр} \approx -16{,}6\text{ дптр}$

За модулем оптична сила становить:
$|D| \approx 16{,}6\text{ дптр}$

Відповідь: $D \approx 16{,}6\text{ дптр}$ (за модулем) або $D \approx -16{,}6\text{ дптр}$.

7. Визначте відстань від предмета до розсіювальної лінзи, оптична сила якої дорівнює –4 дптр, якщо його уявне зображення менше в 5 разів від самого предмета.

Дано:

• $D = -4\text{ дптр}$
• $\Gamma = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$

Знайти:

• $d - ?$

Розв’язання:
За формулою лінійного збільшення розсіювальної лінзи:
$\Gamma = \dfrac{f}{d} = \dfrac{1}{5} \implies f = \dfrac{d}{5}$

Підставимо $f$ у формулу тонкої лінзи для розсіювальної лінзи (де зображення уявне):
$D = \dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{d} - \dfrac{5}{d} = -\dfrac{4}{d}$

Виразимо шукану відстань d:
$d = -\dfrac{4}{D}$

Підставимо значення разом з одиницями вимірювання:
$d = -\dfrac{4}{-4\text{ дптр}} = 1\text{ м}$

Відповідь: $d = 1\text{ м}$.

ОБДУМАЙТЕ, ЗМОДЕЛЮЙТЕ, ЗРОБІТЬ…

Зіскануйте QR-код та ознайомтеся з інформацією про оптичний прилад — калейдоскоп. Складіть алгоритм дій та виготовте калейдоскоп, використавши циліндричну трубку, три вузькі дзеркальні пластини, прозору плівку та кольорові шматочки скла чи пластику або бісер. За допомогою виготовленого приладу перевірте, які візерунки можна побачити. Поясніть, як вони утворюються завдяки відбиванню світла.

Алгоритм дій для виготовлення калейдоскопа:

1. Скласти три однакові вузькі дзеркальні пластини дзеркальними поверхнями всередину під кутом $60^\circ$ одна до одної у формі призми правильного трикутного перерізу та скріпити їх скотчем.
2. Вставити дзеркальну конструкцію всередину картонної або пластикової циліндричної трубки відповідного діаметра.
3. На одному кінці трубки закріпити прозору плівку, насипати невелику кількість різнокольорових шматочків пластику, скла або бісеру й закрити зверху напівпрозорою матовою плівкою так, щоб деталі могли вільно пересипатися під час обертання.
4. Протилежний торець трубки закрити кришкою з невеликим круглим отвором по центру для спостереження.

Пояснення явища:
Під час обертання приладу у полі зору утворюються симетричні візерунки правильної радіальної форми (зазвичай шестипроменеві зірки та розетки). Цей ефект виникає завдяки закону відбивання світла. Промені від кольорових елементів багаторазово відбиваються від плоских дзеркальних граней під кутом $60^\circ$, що створює велику кількість симетрично розміщених уявних зображень, які зливаються в єдиний цілісний візерунок.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 7
ВИЗНАЧЕННЯ ФОКУСНОЇ ВІДСТАНІ ТА ОПТИЧНОЇ СИЛИ ТОНКОЇ ЛІНЗИ

1. Розмістіть лінзу між джерелом світла та екраном так, щоб на екрані отримати чітке зменшене перевернуте зображення джерела світла.

Щоб отримати дійсне зменшене перевернуте зображення, джерело світла розташовують на відстані, що перевищує подвійну фокусну відстань лінзи ($d > 2F$). Екран переміщують уздовж оптичної осі між заднім фокусом і подвійним фокусом ($F < f < 2F$) до появи різкого зображення на поверхні екрана.

2. Виміряйте відстань від джерела світла до лінзи (d) та відстань від лінзи до екрана ($f$).

У результаті прямих вимірювань лінійкою отримано значення:

• відстань від джерела світла до лінзи: $d = 0{,}30\text{ м}$ ($30\text{ см}$);
• відстань від лінзи до екрана: $f = 0{,}15\text{ м}$ ($15\text{ см}$).

3. Визначте фокусну відстань збиральної лінзи за формулою $F = \dfrac{d \cdot f}{f + d}$.

Дано:

• $d = 0{,}30\text{ м}$
• $f = 0{,}15\text{ м}$

Знайти:

• $F - ?$

Розв’язання:
$F = \dfrac{d \cdot f}{f + d}$

Підставимо значення разом з одиницями вимірювання:
$F = \dfrac{0{,}30\text{ м} \cdot 0{,}15\text{ м}}{0{,}15\text{ м} + 0{,}30\text{ м}} = \dfrac{0{,}045\text{ м}^2}{0{,}45\text{ м}} = 0{,}10\text{ м}$

Відповідь: $F = 0{,}10\text{ м}$ ($10\text{ см}$).

4. Визначте оптичну силу тонкої лінзи за формулою $D = \dfrac{1}{F}$.

Дано:

• $F = 0{,}10\text{ м}$

Знайти:

• $D - ?$

Розв’язання:
$D = \dfrac{1}{F}$

Підставимо значення разом з одиницями вимірювання:
$D = \dfrac{1}{0{,}10\text{ м}} = 10\text{ дптр}$

Відповідь: $D = 10\text{ дптр}$.

5. Результати вимірювань та обчислень запишіть у табл. 1.

Результати першого досліду занесено до таблиці:

6. Пересуваючи лінзу, отримайте на екрані чітке збільшене перевернуте зображення джерела світла.

Щоб отримати дійсне збільшене перевернуте зображення, лінзу наближають до джерела світла так, щоб джерело опинилося між фокусом і подвійним фокусом лінзи ($F < d < 2F$). Екран відсувають далі за подвійний фокус ($f > 2F$) до отримання чітких обрисів збільшеного зображення.

7. Виміряйте відстань від джерела світла до лінзи (d) та відстань від лінзи до екрана ($f$).

У результаті вимірювань лінійкою для другого досліду зафіксовано значення:

• відстань від джерела світла до лінзи: $d = 0{,}15\text{ м}$ ($15\text{ см}$);
• відстань від лінзи до екрана: $f = 0{,}30\text{ м}$ ($30\text{ см}$).

8. Визначте фокусну відстань збиральної лінзи.

Дано:

• $d = 0{,}15\text{ м}$
• $f = 0{,}30\text{ м}$

Знайти:

• $F - ?$

Розв’язання:
$F = \dfrac{d \cdot f}{f + d}$

Підставимо значення разом з одиницями вимірювання:
$F = \dfrac{0{,}15\text{ м} \cdot 0{,}30\text{ м}}{0{,}30\text{ м} + 0{,}15\text{ м}} = \dfrac{0{,}045\text{ м}^2}{0{,}45\text{ м}} = 0{,}10\text{ м}$

Відповідь: $F = 0{,}10\text{ м}$ ($10\text{ см}$).

9. Визначте оптичну силу тонкої лінзи.

Дано:

• $F = 0{,}10\text{ м}$

Знайти:

• $D - ?$

Розв’язання:
$D = \dfrac{1}{F}$

Підставимо значення разом з одиницями вимірювання:
$D = \dfrac{1}{0{,}10\text{ м}} = 10\text{ дптр}$

Відповідь: $D = 10\text{ дптр}$.

10. Результати вимірювань та обчислень запишіть у табл. 1.

Таблиця 1. Результати вимірювань та обчислень

11. Зобразіть схематичні креслення обох дослідів.

Проаналізуйте результати експерименту. Зробіть висновок (що саме вимірювали та визначали під час виконання лабораторної роботи; які результати отримали; чи збігаються результати обчислень у двох дослідах і чому; від чого залежить точність отриманих результатів).

Висновок:
Під час лабораторної роботи було виміряно відстань від джерела світла до збиральної лінзи (d) і відстань від лінзи до екрана ($f$), а також обчислено фокусну відстань ($F = 0{,}10\text{ м}$) та оптичну силу ($D = 10\text{ дптр}$).
Результати обчислень в обох дослідах збіглися, оскільки фокусна відстань та оптична сила є внутрішніми характеристиками самої лінзи (вони визначаються кривизною заломлюючих поверхонь і матеріалом скла відносно середовища) і не змінюються при переміщенні лінзи та джерела світла.
Точність отриманих результатів залежить від ціни поділки вимірювальної лінійки, чіткості фіксації різкого зображення на екрані та розташування оптичних елементів строго вздовж однієї прямої.

ДОДАТКОВЕ ЗАВДАННЯ

Дізнайтеся дослідним шляхом, що відбудеться із зображенням на екрані, якщо половину лінзи закрити непрозорим предметом. Відповідь обґрунтуйте.

Зображення залишиться повним і не втратить жодної деталі, але стане менш яскравим (тьмянішим).
Кожна точка предмета посилає світлові промені в усіх напрямках, охоплюючи всю вільну поверхню лінзи. Відкрита половина лінзи так само збирає промені від кожної точки предмета у відповідних точках дійсного зображення. Через закриття частини лінзи загальний світловий потік зменшується наполовину, тому зображення не обрізається, а лише втрачає половину своєї яскравості.