§ 12. Енергія коливань. Вільні та вимушені коливання. Автоколивання. Резонанс

• Назад до змісту

ПОМІРКУЙТЕ І ДАЙТЕ ВІДПОВІДЬ

1. Скільки разів за одне коливання маятник набуває максимальної кінетичної енергії (максимальної потенціальної енергії)?

За одне повне коливання маятник набуває максимальної кінетичної енергії двічі, і максимальної потенціальної енергії також двічі.

Під час руху до положення рівноваги потенціальна енергія переходить у кінетичну, тому кінетична енергія досягає максимуму щоразу, коли тіло проходить положення рівноваги з максимальною швидкістю ($v = v_{\max}$). Потенціальна енергія стає максимальною у двох крайніх точках відхилення, де маятник на мить зупиняється на максимальній висоті підйому ($h = h_{\max}$).

2. Поясніть, завдяки чому можна високо підстрибувати на батуті (мал. 12.7). Яких правил безпеки необхідно дотримуватися?

Високо підстрибувати на батуті вдається завдяки явищу механічного резонансу та взаємному перетворенню механічної енергії. Коли людина синхронізує поштовхи ніг із власною частотою коливань батута, частота дії зовнішньої сили збігається з власною частотою системи, і висота стрибка різко збільшується. Потенціальна енергія деформованого полотна та пружин переходить у кінетичну енергію руху тіла вгору.

Під час стрибків на батуті необхідно виконувати такі правила безпеки:

• Стрибати строго по центру полотна та уникати краю сітки.
• Перебувати на батуті тільки поодинці, щоб уникнути зіткнень.
• Не виконувати складні перекиди чи сальто без спеціальної підготовки і нагляду тренера.
• Приземлятися на злегка зігнуті ноги, тримати контроль над рівновагою та зупиняти рух згинанням колін.

3. Наведіть інші відомі вам приклади корисного і шкідливого прояву резонансу.

Корисні прояви резонансу:

• Налаштування радіоприймача на хвилю певної станції, коли власна частота контуру приймача збігається з частотою електромагнітної хвилі передавача.
• Звучання акустичних музичних інструментів, де деки струнних або порожнини духових інструментів резонують і значно підсилюють звук.
• Використання мікрохвильових печей, де частота випромінювання близька до власної частоти коливань молекул води, через що їжа швидко прогрівається.

Шкідливі прояви резонансу:

• Розгойдування та руйнування мостів під дією вітру або крокування солдатів у ногу, коли частота зовнішніх поштовхів збігається з частотою коливань конструкції.
• Деренчання скла у вікнах або окремих панелей у салоні авто під час руху з певною швидкістю чи під час роботи двигуна на певних обертах.
• Руйнування будівель під час землетрусів, якщо частота коливань сейсмічної хвилі збігається з власною частотою будівлі.

ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ

1. Вантаж пружинного маятника проходить положення рівноваги. Що ви можете сказати про його швидкість у цей момент?

У цей момент швидкість вантажу є максимальною ($v = v_{\max}$).

Під час проходження положення рівноваги пружина не деформована ($x = 0$), тому її потенціальна енергія дорівнює нулю ($E_{\text{п}} = 0$). За законом збереження повної механічної енергії вся потенціальна енергія деформації пружини повністю перетворюється на кінетичну енергію руху вантажу ($E_{\text{к}\max} = \dfrac{m \cdot v_{\max}^2}{2}$), через що швидкість досягає найбільшого значення.

2. Що можна сказати про швидкість кульки нитяного маятника в точці максимального відхилення від положення рівноваги?

У точці максимального відхилення від положення рівноваги швидкість кульки дорівнює нулю ($v = 0$).

У крайньому положенні кулька на мить зупиняється та змінює напрямок руху, тому її кінетична енергія дорівнює нулю ($E_{\text{к}} = 0$). Уся механічна енергія системи в цій точці зосереджена у вигляді максимальної потенціальної енергії взаємодії із Землею ($E_{\text{п}\max} = m \cdot g \cdot h_{\max}$).

3. Завдяки чому гімнасти / гімнастки (читайте «мотивацію» до параграфа) крутять «сонце» на перекладині?

Гімнасти виконують цю вправу завдяки автоколиванням та взаємному перетворенню потенціальної і кінетичної енергій.

Людина утворює автоколивальну систему: вона вчасно змінює положення свого тіла (згинає та розгинає тулуб і ноги) та додає механічну енергію м’язовими зусиллями. Під час руху вниз потенціальна енергія переходить у кінетичну енергію обертання, швидкості якої вистачає для подолання сили тертя, проходження верхньої точки та здійснення повного оберту.

4. Визначте висоту, на яку підніметься кулька, підвішена на нитці, якщо внаслідок поштовху вона набула швидкості 2 м/с.

Дано:

• $v = 2\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$
• $g = 10\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Знайти:

• $h - ?$

Розв’язання:
За законом збереження повної механічної енергії максимальна кінетична енергія в нижній точці дорівнює максимальній потенціальній енергії у верхній точці:
$E_{\text{к max}} = E_{\text{п max}}$
$\dfrac{m \cdot v^2}{2} = m \cdot g \cdot h$
Виразимо висоту підйому $h$:
$h = \dfrac{v^2}{2g}$

Підставимо числові дані разом з одиницями вимірювання:
$h = \dfrac{\left(2\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}\right)^2}{2 \cdot 10\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}} = \dfrac{4\,\dfrac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}{20\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}} = 0{,}2\,\text{м}$

Відповідь: $h = 0{,}2\,\text{м}$.

5. Сівши на гойдалку, Марко відштовхнувся від землі й піднявся на висоту 50 см відносно положення рівноваги. Визначте швидкість гойдалки на висоті 30 см відносно положення рівноваги.

Дано:

• $h_1 = 50\,\text{см} = 0{,}5\,\text{м}$
• $h_2 = 30\,\text{см} = 0{,}3\,\text{м}$
• $g = 10\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Знайти:

• $v - ?$

Розв’язання:
За законом збереження повної механічної енергії повна енергія в найвищій точці дорівнює сумі потенціальної та кінетичної енергій на висоті $h_2$:
$E_{\text{п max}} = E_{\text{п}} + E_{\text{к}}$
$m \cdot g \cdot h_1 = m \cdot g \cdot h_2 + \dfrac{m \cdot v^2}{2}$
Поділимо обидві частини рівняння на масу m:
$g \cdot h_1 = g \cdot h_2 + \dfrac{v^2}{2}$
$g \cdot (h_1 - h_2) = \dfrac{v^2}{2}$
$v = \sqrt{2g(h_1 - h_2)}$

Підставимо значення разом з одиницями вимірювання в отриману розрахункову формулу:
$v = \sqrt{2 \cdot 10\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (0{,}5\,\text{м} - 0{,}3\,\text{м})} = \sqrt{20\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0{,}2\,\text{м}} = \sqrt{4\,\dfrac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = 2\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$

Відповідь: $v = 2\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$.

6. Несучи повне відро з водою, Оля зауважила, що вода вихлюпується з нього, якщо вона робить 2 кроки за секунду. Чому так відбувається? Визначте період коливань відра з водою.

Вода вихлюпується з відра через механічний резонанс. Під час ходьби кожен крок створює періодичну зовнішню силу. Коли частота кроків збігається з власною частотою коливань води у відрі, амплітуда коливань води різко зростає, і вона переливається через край.

Дано:

• $N = 2$
• $t = 1\,\text{с}$

Знайти:

• $T - ?$

Розв’язання:
Період коливань визначається відношенням часу до кількості коливань:
$T = \dfrac{t}{N}$

Підставимо числові дані з одиницями вимірювання:
$T = \dfrac{1\,\text{с}}{2} = 0{,}5\,\text{с}$

Відповідь: $T = 0{,}5\,\text{с}$.

7. Період коливань вантажу, підвішеного на пружині, дорівнює 1,25 с. Визначте частоту, з якою необхідно підштовхувати вантаж, щоб амплітуда його коливань стала максимальною.

Дано:

• $T = 1{,}25\,\text{с}$

Знайти:

• $\nu - ?$

Розв’язання:
Амплітуда коливань стає максимальною у разі виникнення явища резонансу, коли частота зовнішньої періодичної сили дорівнює власній частоті системи:
$\nu = \nu_0 = \dfrac{1}{T}$

Підставимо значення періоду:
$\nu = \dfrac{1}{1{,}25\,\text{с}} = 0{,}8\,\text{с}^{-1} = 0{,}8\,\text{Гц}$

Відповідь: $\nu = 0{,}8\,\text{Гц}$.

ВИКОНАЙТЕ ПРОЄКТ

Орієнтовні теми проєктів: «Чому уникають резонансу?», «У світі коливань», «Коливальні системи людського організму».

План та учнівський зміст проєкту на тему «Чому уникають резонансу?»:

1. Мета проєкту: з’ясувати причини руйнівної дії механічного резонансу у будівництві та на транспорті, а також розглянути способи захисту інженерних споруд від небезпечних коливань.
2. Фізична суть явища: коли частота зовнішньої періодичної сили збігається з власною частотою коливань конструкції, енергія зовнішнього збурення постійно підживлює коливання, і амплітуда різко зростає.
3. Небезпека резонансу на практиці:

• Будівлі та мости: крокування строєм, пориви вітру або коливання ґрунту під час землетрусу можуть спричинити розхитування мостових прогонів чи стін і призвести до їхнього обвалу.
• Транспортні засоби: обертання деталей двигуна чи удар коліс потяга об стики рейок можуть збігтися із власною частотою рами машини чи вагона, що викликає втому металу та поломку кріплень.
• Побутова техніка: незбалансований барабан пральної машини під час віджимання може увійти в резонанс із корпусом і спричинити сильні вібрації та зміщення приладу.

4. Способи усунення резонансу:

• Зміна маси або пружності конструкції для зміщення її власної коливальної частоти.
• Встановлення демпферів та масляних або гумових амортизаторів, які гасять енергію коливань і збільшують силу тертя.
• Перехід військових колон через мости вільним кроком (команда «іти не в ногу»).

5. Висновки: інженери ретельно прораховують власні частоти споруд і машин, щоб уникнути збігу частот і запобігти аваріям через перевищення міцності матеріалів.